集合の境界と内部は交わらない

集合 $A$ の境界 $ \partial A $ と内部 $ \operatorname{Int}(A) $ の共通部分は空集合である： $$ \partial A \cap \operatorname{Int}(A) = \emptyset $$

この性質は、位相空間における集合の構造を理解するうえで非常に重要である。直感的に言えば、「内部にある点」と「境界にある点」は重なることがない。

具体例で考える

標準位相を備えた実数直線 $\mathbb{R}$ を考える。このとき、開集合は開区間である。

集合 $A = (0, 1)$ をとる。これは 0 と 1 の間の開区間である。

まず、内部を見てみよう。集合 $A$ の内部とは、そのまわりに小さな区間をとっても、すべて $A$ の中に収まるような点の集まりである。この場合、$A$ に含まれるすべての点が内部点となる。

$$ \operatorname{Int}(A) = A = (0, 1) $$

次に、閉包を考える。閉包は、もとの集合に「端の点」を加えたものと考えることができる。この場合は 0 と 1 がそれにあたる。

$$ \operatorname{Cl}(A) = [0, 1] $$

一方で、$A$ の補集合は次のようになる。

$$ \mathbb{R} \setminus A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

この集合はすでに閉集合であるため、閉包をとっても変化しない。

$$ \operatorname{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

境界は、「集合の内側と外側のどちらにも接している点」として定義される。したがって、次のように求められる。

$$ \partial A = \operatorname{Cl}(A) \cap \operatorname{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) $$

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

ここで、境界と内部の共通部分を考えると、

$$ \partial A \cap \operatorname{Int}(A) = \{0, 1\} \cap (0, 1) = \emptyset $$

となる。つまり、境界にある点と内部にある点は重ならない。

この性質は、定義に立ち返ることで理解できる。

境界点とは、「どんなに小さな近傍をとっても、集合の内側と外側の両方に触れてしまう点」である。

一方で、内部の点とは、「ある程度小さな近傍をとれば、そのすべてが集合の中に収まる点」である。

この二つの性質は本質的に両立しない。ある点が境界にあるなら、その点の近くには必ず集合の外の点が存在するため、内部点になることはできない。

逆に、内部点であれば、そのまわりはすべて集合の中にあるため、境界の条件を満たすことはない。

したがって、境界と内部は共通部分をもたず、常に次が成り立つ。

$$ \partial A \cap \operatorname{Int}(A) = \emptyset $$

この結果は、任意の位相空間において成立する基本的な事実である。