位相空間における集合とその境界の共通部分
集合 \( A \) の境界 \( \partial A \) と集合自身 \( A \) の共通部分が空集合であることと、集合 \( A \) が開集合であることは同値である。すなわち、$$ \partial A \cap A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ は開集合である} $$
言い換えれば、集合 \( A \) が開集合であるための必要十分条件は、そのいかなる点も境界に属さないことである。
したがって、\( A \) が開集合である場合、集合 \( A \) とその境界は互いに共通部分を持たない。
具体例
通常位相を備えた実数直線 \(\mathbb{R}\) において、開区間 \((0, 1)\) を考える。
$$ A = (0, 1) $$
このとき、集合 \( A \) は \(\mathbb{R}\) の通常位相に関して開集合である。
集合 \( A \) の境界は、閉包を用いて次のように定義される。
$$ \partial A = \overline{A} \cap \overline{\mathbb{R} \setminus A} $$
\( A \) の閉包は閉区間 \([0, 1]\) に一致する。
$$ \overline{A} = [0, 1] $$
一方、\( A \) の補集合の閉包は次の通りである。
$$ \overline{\mathbb{R}\setminus A} = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
したがって、\( A \) の境界は
$$ \partial A = \overline{A} \cap \overline{\mathbb{R} \setminus A} $$
$$ \partial A = [0, 1] \cap \bigl((-\infty, 0] \cup [1, \infty)\bigr) $$
$$ \partial A = \{0, 1\} $$
以上より、境界 \( \partial A \) が求まったので、共通部分 \( \partial A \cap A \) を考える。
この場合、集合 \( A \) は開集合であるため、境界との共通部分は空集合となる。
$$ \partial A \cap A = \{0, 1\} \cap (0, 1) = \emptyset $$
この例は、開区間 \((0, 1)\) が開集合であり、その境界が集合と共通部分を持たないことを明確に示している。
例2
次に、通常位相を備えた \(\mathbb{R}\) において閉区間 \( B = [0, 1] \) を考える。
$$ B = [0, 1] $$
集合 \( B \) は閉集合である。
集合 \( B \) の境界は、同様に次式で与えられる。
$$ \partial B = \overline{B} \cap \overline{\mathbb{R} \setminus B} $$
\( B \) の閉包は \([0, 1]\) に一致する。
$$ \overline{B} = [0, 1] $$
また、\( B \) の補集合の閉包は次の通りである。
$$ \overline{\mathbb{R}\setminus B} = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
したがって、\( B \) の境界は
$$ \partial B = \overline{B} \cap \overline{\mathbb{R} \setminus B} $$
$$ \partial B = [0, 1] \cap \bigl((-\infty, 0] \cup [1, \infty)\bigr) $$
$$ \partial B = \{0, 1\} $$
この場合、集合 \( B \) は閉集合であるため、境界との共通部分は空ではない。
$$ \partial B \cap B = \{0, 1\} \cap [0, 1] = \{0, 1\} $$
この例から、閉区間 \([0, 1]\) は開集合ではなく、その境界が集合と共通部分を持つことが確認される。
証明
この命題の証明には、同値関係の両方向を示せば十分である。
(⇒) \( \partial A \cap A = \emptyset \) ならば \( A \) は開集合である
まず、境界と集合自身の共通部分が空集合であると仮定する。
$$ \partial A \cap A = \emptyset $$
このとき、\( A \) が開集合であることを示す。
仮定より、\( A \) のいかなる点も境界に属さない。
したがって、任意の点 \( x \in A \) は内部点であり、ある開近傍 \( U \) が存在して \( x \in U \subset A \) を満たす。
定義により、この条件を満たす集合は開集合である。
ゆえに、\( A \) は開集合である。
(⇐) \( A \) が開集合ならば \( \partial A \cap A = \emptyset \)
次に、\( A \) が開集合であると仮定する。
このとき、境界と集合の共通部分が空集合であることを示す。
$$ \partial A \cap A = \emptyset $$
\( A \) が開集合であるならば、任意の点 \( x \in A \) に対して、\( x \in U \subset A \) を満たす開近傍 \( U \) が存在する。
したがって、そのような点は補集合 \( X \setminus A \) と交わらない近傍を持つため、境界点ではない。
ゆえに、\( \partial A \cap A = \emptyset \) が成立する。
結論
以上により、\( \partial A \cap A = \emptyset \) であることと、\( A \) が開集合であることは同値であることが示された。
同様の議論は一般の位相空間においても成り立つ。
