境界が集合Aに含まれることとAが閉集合であることの同値性

集合 $ A $ の境界 $ \partial A $ が集合 $ A $ に含まれることと、集合 $ A $ が閉集合であることは同値である。すなわち次が成り立つ。

\[ \partial A \subseteq A \Leftrightarrow A \text{ is closed} \]

具体例

例1

集合 $ A $ を、ユークリッド空間 $\mathbb{R}^2$ において原点を中心とする半径1の閉円板とする。

$$ A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 1 \} $$

このとき、集合 $ A $ の境界は半径1の円周である。

$$ \partial A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 \} $$

閉円板は境界を含む集合である。したがって円周上のすべての点は集合 $ A $ に属する。

$$ \partial A \subseteq A $$

このことから、集合 $ A $ は閉集合であることが分かる。

閉円板の境界の例

例2

集合 $ B $ を、原点を中心とする半径1の開円板とする。

$$ B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 < 1 \} $$

集合 $ B $ の境界も同じく半径1の円周である。

$$ \partial B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 \} $$

しかし開円板はその境界を含まない。したがって円周上の点は集合 $ B $ に属さない。

$$ \partial B \nsubseteq B $$

このため、集合 $ B $ は閉集合ではない。

開円板の境界の例

この二つの例から分かるように、閉集合はその境界を含むのに対し、開集合は境界を含まない。

この性質を、二つの方向から示す。

1] 境界がAに含まれるならば、Aは閉集合である

$ \partial A \subseteq A $ と仮定する。つまり集合 $ A $ の境界がすべて $ A $ の中に含まれているとする。

集合 $ A $ の境界は次のように定義される。

$ \partial A = \overline{A} \cap \overline{A^c} $

ここで $ \overline{A} $ は集合 $ A $ の閉包、$ \overline{A^c} $ は補集合 $ A^c $ の閉包である。

境界上の点は、定義から、集合 $ A $ とその補集合 $ A^c $ のどちらにも任意に近づくことができる点である。つまり、それらは $ A $ または $ A^c $ の集積点である。

もし境界のすべての点が $ A $ に含まれているならば、集合 $ A $ は自分の集積点をすべて含むことになる。

定義より、集合がすべての集積点を含むとき、その集合は閉集合である。したがって $ A $ は閉集合である。

2] Aが閉集合ならば、その境界はAに含まれる

次に、集合 $ A $ が閉集合であると仮定する。

閉集合はその閉包と一致するため、次が成り立つ。

$$ A = \mathrm{Cl}(A) $$

境界の定義より

$$ \partial A = \mathrm{Cl}(A) \cap \mathrm{Cl}(A^c) $$

ここで $ \mathrm{Cl}(A) = A $ であるため

$$ \partial A = A \cap \mathrm{Cl}(A^c) $$

この式は、集合 $ A $ に属し、同時に補集合 $ A^c $ の閉包にも属する点の集合を表している。これらの点はまさに集合 $ A $ の境界点である。

したがって境界 $ \partial A $ は集合 $ A $ に含まれる。

3] 結論

以上より、

\[ \partial A \subseteq A \Leftrightarrow A \text{ is closed} \]

が成り立つ。すなわち、集合の境界がその集合に含まれることと、その集合が閉集合であることは同値である。