集合の境界の閉性

集合の境界は閉集合である。これは、集合 $A$ の閉包とその補集合の閉包との共通部分として表されることに由来する。 $$ \partial A = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A} $$

位相空間 $X$ において、集合 $A$ の境界 $\partial A$ は、$A$ の閉包とその補集合の閉包との共通部分として定義される。すなわち、$\partial A = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}$ である。

ここで重要なのは、閉集合どうしの共通部分は再び閉集合になるという基本性質である。この性質から、境界 $\partial A$ も必ず閉集合になることが直ちに分かる。

具体例

標準位相を備えた実数直線 $\mathbb{R}$ を考える。このとき、開集合は開区間として与えられる。

例として、開区間 $A = (0, 1)$ を取る。

$A$ の閉包 $\overline{A}$ は $[0, 1]$ であり、区間の内部の点に加えて、その端点である 0 と 1 も含む。

$\mathbb{R}$ における $A$ の補集合は次のように表される。

$$ \mathbb{R} \setminus A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

この補集合はすでに閉集合であるため、その閉包も同じ集合となる。

$$ \overline{\mathbb{R} \setminus A} = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

したがって、境界 $\partial A$ は次のように計算される。

$$ \partial A = \overline{A} \cap \overline{\mathbb{R} \setminus A} $$

$$ \partial A = [0, 1] \cap \bigl((-\infty, 0] \cup [1, \infty)\bigr) = \{0, 1\} $$

この例では、境界は端点の集合 $\{0, 1\}$ となり、確かに閉集合であることが確認できる。

この結果は、位相空間における基本的な性質から直接導かれる。

任意の位相空間 $X$ において、集合 $A$ の閉包 $\overline{A}$ は常に閉集合である。また、補集合 $X \setminus A$ の閉包 $\overline{X \setminus A}$ も同様に閉集合である。

さらに、閉集合どうしの共通部分は閉集合になる。この基本事実を用いると、次が直ちに従う。

$$ \partial A = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A} $$

以上より、任意の位相空間において集合の境界は常に閉集合であることが分かる。

この性質は単純に見えるが、位相空間の基本構造を理解するうえで重要な役割を果たす。