集合の境界

点 $ x $ が集合 $ A $ の境界に属するとは、$ x $ の任意の近傍が集合 $ A $ とその補集合 $ X - A $ の双方と交わる場合をいう。

直感的に言えば、点 $ x $ のまわりにどれだけ小さな近傍をとっても、その中には常に集合 $ A $ に属する点と、$ A $ の外にある点の両方が含まれてしまう。このような点が、集合 $ A $ の境界にある点である。

具体例

この考え方を具体的な例で確認してみよう。

実数直線 $ \mathbb{R} $ 上の集合

$$ A = (0,1) $$

を考える。

この集合の境界は、区間の端にある点 0 と 1 である。なぜなら、0 や 1 のどんな近傍をとっても、その中には必ず区間 $ (0,1) $ の内部にある部分と、区間の外にある部分の両方が含まれるからである。

点 1
近傍 $ (1-\epsilon,1+\epsilon) $ を考える。ただし ε は十分小さい正の数とする。この近傍には、区間 $ (0,1) $ の内部にある部分 $ (1-\epsilon,1) $ と、区間の外にある部分 $ (1,1+\epsilon) $ が含まれる。したがって、点 1 は集合 $ A $ の境界点である。
点 0
同様に、近傍 $ (0-\epsilon,0+\epsilon) $ を考える。この近傍には、区間 $ (0,1) $ の内部にある部分 $ (0,0+\epsilon) $ と、区間の外にある部分 $ (0-\epsilon,0) $ が含まれる。したがって、点 0 も集合 $ A $ の境界点である。
区間 (0,1) の内部の点
区間の内部にある任意の点 $ x $ については、ε を十分小さく取れば、近傍 $ (x-\epsilon,x+\epsilon) $ を完全に $ (0,1) $ の内部に収めることができる。この近傍は $ X-A $ とは交わらない。したがって、区間 $ (0,1) $ の内部にある点は境界点ではない。
区間 (0,1) の外側の点
区間の外側にある点、ただし 0 と 1 を除く点を考える。このような点 $ x $ では、ε を十分小さく取れば、近傍 $ (x-\epsilon,x+\epsilon) $ を完全に $ X-A $ の内部に収めることができる。この近傍は $ A $ とは交わらない。したがって、区間 $ [0,1] $ の外にある点は集合 $ A $ の境界点ではない。

以上から、集合 $ A $ の境界は次のようになる。

$$ \partial A = \{0,1\} $$

まとめると、点 $ x $ が集合 $ A $ の境界にあるとは、その点の近傍の中に常に $ A $ の点と $ A $ の外の点の両方が現れる場合である。

次に、この特徴づけを簡単に証明する。

1] 点 $ x $ が $ A $ の境界点であると仮定する

境界の定義から

$$ x \in \partial A $$

である。

境界は

$$ \partial A = \text{Cl}(A) - \text{Int}(A) $$

と表されるので、

$ x \in \text{Cl}(A) $ かつ $ x \notin \text{Int}(A) $ が成り立つ。

$ x \in \text{Cl}(A) $ であることから、$ x $ の任意の近傍は必ず集合 $ A $ と交わる。

一方、$ x \notin \text{Int}(A) $ であるため、$ x $ の近傍は $ A $ に完全には含まれない。したがって、その近傍は必ず $ X-A $ とも交わる。

よって、任意の近傍は $ A $ と $ X-A $ の両方と交わる。

2] 任意の近傍が $ A $ と $ X-A $ の双方と交わると仮定する

このとき、任意の近傍が $ A $ と交わるので

$$ x \in \text{Cl}(A) $$

が成り立つ。

同様に、任意の近傍が $ X-A $ とも交わるため

$$ x \in \text{Cl}(X-A) $$

となる。

さらに

$$ \text{Cl}(X-A) = X - \text{Int}(A) $$

であることから、

$$ x \notin \text{Int}(A) $$

が従う。

したがって

$ x \in \text{Cl}(A) $ かつ $ x \notin \text{Int}(A) $

であり、

$$ x \in \partial A $$

が得られる。

以上より、点 $ x $ は集合 $ A $ の境界点であることが示された。