집합의 폐포는 집합과 그 극한점들의 합집합이다
위상공간 \( X \)에서 집합 \( A \)의 폐포(closure)는 \(\text{Cl}(A)\)로 표기한다. 폐포는 집합 \( A \)와 그 극한점들의 집합 \( A' \)의 합집합으로 표현된다. $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
이 정리는 위상수학에서 매우 기본적이면서도 중요한 사실을 담고 있다. 폐포는 단순히 집합의 점들만을 모은 것이 아니라, 그 집합에 “끝없이 가까이 접근할 수 있는 점들”까지 포함하는 개념이다.
위상적 관점에서 보면, 폐포는 집합 \( A \)를 경계까지 확장한 결과라고 이해할 수 있다. 이때 극한점은 핵심적인 역할을 한다.
중요한 점은, 극한점이 항상 집합 \( A \)의 원소는 아니라는 사실이다. 어떤 점은 집합에 속하지 않더라도, 그 주변을 아무리 작게 보아도 집합의 점들이 존재할 수 있다.
이 정리에서 다음 성질이 직접적으로 도출된다. 집합 \( A \)가 닫힌집합(closed set)일 필요충분조건은 \( A \)가 자신의 모든 극한점을 포함하는 것이다. $$ A \text{ is closed } \ \Leftrightarrow \ A = A \cup A' = \text{Cl}(A) $$ 즉, 집합이 닫혀 있다는 것은 그 폐포와 정확히 일치함을 의미한다.
구체적인 예
표준 위상을 갖는 실수공간 \(\mathbb{R}\)에서 집합 \( A = (0, 1) \)을 생각하자.
$$ A = (0,1) $$
이 집합은 0과 1을 제외한, 두 점 사이의 모든 실수로 이루어진 열린구간이다.
이제 극한점을 살펴보자.
- 구간 (0,1)의 모든 점 \( x \)는 극한점이다. 임의의 \( x \in (0,1) \)에 대해 어떤 이웃 \((x-ε, x+ε)\)을 택하더라도, 그 안에는 항상 집합 \( A \)의 다른 점들이 존재한다.
- 끝점 0 역시 극한점이다. 0의 임의의 이웃 \((0,0+ε)\)에는 집합 \( A \)의 점들이 포함된다.
- 끝점 1도 극한점이다. 1의 임의의 이웃 \((1-ε,1)\)에는 집합 \( A \)의 점들이 존재한다.
따라서 극한점들의 집합은 다음과 같다.
$$ A' = [0,1] $$
집합 \( A \)와 극한점들의 합집합을 취하면 폐포를 얻는다.
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' = [0,1] $$
폐포가 원래의 집합과 일치하지 않으므로,
$$ A \ne \text{Cl}(A) $$
집합 \( A \)는 닫힌집합이 아니다.
예 2
이번에는 집합 \( B = [0, 1] \)을 고려하자.
$$ B = [0,1] $$
이 집합은 \( 0 \leq x \leq 1 \)을 만족하는 모든 실수를 포함하는 닫힌구간이다.
극한점을 확인하면 다음과 같다.
- \( x \in (0,1) \)이면 모든 이웃은 집합 \( B \)의 다른 점을 포함한다. 따라서 내부의 모든 점은 극한점이다.
- \( x = 0 \) 또는 \( x = 1 \)인 경우에도 상황은 동일하다. 해당 점의 임의의 이웃은 닫힌구간 \( [0,1] \)의 일부를 포함한다.
결론적으로
$$ B' = [0,1] $$
폐포를 계산하면
$$ \text{Cl}(B) = B \cup B' = [0,1] $$
즉,
$$ B = \text{Cl}(B) $$
집합 \( B \)는 닫힌집합이다.
증명
위상공간 \( X \)에서 다음 등식을 보인다.
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
먼저 정의를 상기하자.
- 폐포: \( \text{Cl}(A) \)는 \( A \)를 포함하는 모든 닫힌집합들의 교집합이다.
- 극한점: 점 \( x \)의 모든 이웃이 \( x \) 자신과 다른 \( A \)의 점을 포함할 때, \( x \)는 극한점이다.
1] \( A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \)
정의에 의해 \( A \subseteq \text{Cl}(A) \).
또한 \( x \in A' \)라면, 모든 이웃이 \( A \)와 교차한다. 만약 \( x \notin \text{Cl}(A) \)라면 어떤 이웃 \( U \)가 존재하여 \( U \cap A = \emptyset \)이 된다. 이는 극한점의 정의와 모순이다.
$$ A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
2] \( \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \)
\( x \in \text{Cl}(A) \)이고 \( x \notin A \)라 하자. 폐포의 정의에 의해 모든 이웃은 \( A \)와 교차한다. 따라서 \( x \)는 극한점이다.
\[ \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \]
3] 결론
두 포함관계로부터
\[ \text{Cl}(A) = A \cup A' \]
정리가 성립한다.
