붙임정리
위상공간 \( X \)와 그 닫힌 부분집합 \( A \), \( B \)가 있다고 하자. 두 집합이 공간 전체를 덮어 \( A \cup B = X \)를 만족한다고 가정하자. 또한 위상공간 \( Y \)로 가는 함수 \( f: A \to Y \)와 \( g: B \to Y \)가 각각 연속이며, 겹치는 부분에서는 항상 같은 값을 갖는다고 하자. 즉, 모든 \( x \in A \cap B \)에 대하여 \( f(x) = g(x) \)가 성립한다고 하자. 이때 다음과 같이 정의되는 함수
$$ h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{if } x \in A, \\ g(x) & \text{if } x \in B, \end{cases} $$
는 연속이다.
붙임정리는 위상수학에서 자주 사용되는 기본 정리 가운데 하나이다. 이 정리의 핵심은 간단하다. 서로 겹치는 영역에서 같은 값을 갖는 두 연속함수가 있다면, 이들을 하나로 이어 붙여 더 큰 영역에서 정의되는 새로운 연속함수를 만들 수 있다는 것이다.
즉, 각각의 부분집합에서 정의된 연속함수들을 적절한 조건 아래 하나의 함수로 결합할 수 있으며, 이렇게 만들어진 함수 역시 연속성을 유지한다.
왜 중요한가?
수학에서는 복잡한 공간 전체를 한 번에 다루기보다 여러 부분으로 나누어 분석하는 경우가 많다. 붙임정리는 각 부분에서 정의된 함수들을 다시 하나의 전역 함수로 결합할 수 있도록 해 주는 도구이다.
특히 위상수학, 미분기하학, 대수위상수학 등에서는 국소적으로 정의된 함수를 전역적으로 확장할 때 반복적으로 활용된다.
구체적인 예
다음 두 함수를 생각해 보자.
- \( f: [0, 1] \to \mathbb{R} \), \( f(x)=x \)
- \( g: [1, 2] \to \mathbb{R} \), \( g(x)=2-x \)
두 함수는 각각의 구간에서 연속이다.
이제 붙임정리의 조건을 하나씩 확인해 보자.
- 닫힌집합 조건
구간 \( [0,1] \)과 \( [1,2] \)는 모두 \( \mathbb{R} \)에서 닫힌집합이다. - 전체 공간을 덮는 조건
\( A=[0,1] \), \( B=[1,2] \)라 하면
$$ A \cup B = [0,2]. $$ 즉, 두 구간을 합치면 전체 구간 \( [0,2] \)가 된다. - 겹치는 부분에서 일치하는 조건
교집합은 $$ A \cap B = \{1\} $$ 이다.
실제로 두 함수의 값을 비교해 보면
\( f(1)=1 \)
\( g(1)=2-1=1 \)
이므로
$$ f(1)=g(1). $$
따라서 겹치는 점에서 두 함수는 정확히 같은 값을 가진다.
이제 새로운 함수 \( h:[0,2]\to\mathbb{R} \)를 정의하자.
$$ h(x)= \begin{cases} x & \text{if } x\in[0,1],\\ 2-x & \text{if } x\in[1,2]. \end{cases} $$
이 함수는 왼쪽 구간에서는 \( f \)와 같고, 오른쪽 구간에서는 \( g \)와 같다.
또한 두 함수가 만나는 점 \( x=1 \)에서 값이 일치하므로 그래프가 끊어지지 않는다.
따라서 붙임정리에 의해 \( h \)는 전체 구간 \( [0,2] \)에서 연속이다.
그래프로 이해하기
함수 \( h(x) \)의 그래프는 두 개의 직선 조각으로 이루어진다.
- \( [0,1] \)에서는 \( h(x)=x \)이므로 오른쪽 위로 증가하는 직선이 나타난다.
- \( [1,2] \)에서는 \( h(x)=2-x \)이므로 오른쪽으로 갈수록 감소하는 직선이 나타난다.
두 직선은 점 \( (1,1) \)에서 정확히 만나며, 그 결과 하나의 연속적인 그래프를 형성한다.
증명
이제 붙임정리를 증명해 보자.
연속성의 닫힌집합 판정을 사용하면, 함수 \( h \)가 연속임을 보이기 위해서는 \( Y \)의 임의의 닫힌집합 \( C \subseteq Y \)에 대해 원상 \( h^{-1}(C) \)가 \( X \)에서 닫힌집합임을 증명하면 충분하다.
함수 \( h \)는 \( A \)와 \( B \)에서 각각 다른 방식으로 정의되어 있으므로
$$ h^{-1}(C)=f^{-1}(C)\cup g^{-1}(C). $$
여기서
- \( f^{-1}(C) \)는 \( f \)에 의해 \( C \)로 보내지는 \( A \)의 점들의 집합이다.
- \( g^{-1}(C) \)는 \( g \)에 의해 \( C \)로 보내지는 \( B \)의 점들의 집합이다.
\( f \)가 연속이고 \( C \)가 닫힌집합이므로 \( f^{-1}(C) \)는 \( A \)에서 닫힌집합이다.
또한 \( A \)는 \( X \)의 닫힌 부분집합이므로 \( f^{-1}(C) \)는 \( X \)에서도 닫힌집합이다.
같은 이유로 \( g^{-1}(C) \) 역시 \( X \)에서 닫힌집합이다.
따라서
$$ h^{-1}(C)=f^{-1}(C)\cup g^{-1}(C) $$
는 닫힌집합 두 개의 합집합이 된다.
위상공간에서 닫힌집합의 유한 합집합은 다시 닫힌집합이므로 \( h^{-1}(C) \)는 \( X \)에서 닫힌집합이다.
결국 \( Y \)의 모든 닫힌집합 \( C \)에 대해 \( h^{-1}(C) \)가 닫힌집합이므로, 함수 \( h \)는 연속이다.
따라서 붙임정리가 성립한다.
정리
붙임정리는 여러 부분에서 정의된 연속함수를 하나의 연속함수로 결합할 수 있게 해 주는 중요한 결과이다.
조건은 단순하다.
- 정의역을 덮는 부분집합들이 닫힌집합일 것
- 각 부분집합에서 정의된 함수가 연속일 것
- 겹치는 부분에서 함수값이 일치할 것
이 세 조건이 만족되면 각 부분에서 정의된 함수들을 하나의 연속함수로 자연스럽게 이어 붙일 수 있다.
