집합의 폐포에 관한 연속성 정리
연속함수 \( f : X \to Y \)와 집합 \( A \subset X \)가 주어졌다고 하자. 만약 어떤 점 \( x \in X \)가 집합 \( A \)의 폐포(closure)에 속한다면(즉, \( x \in Cl(A) \)), 그 점의 상 \( f(x) \) 역시 집합 \( f(A) \)의 폐포에 속한다. 다시 말해,
$$ x \in Cl(A) \implies f(x) \in Cl(f(A)) $$
가 성립한다.
이 정리는 연속함수가 단순히 점을 다른 점으로 대응시키는 것에 그치지 않고, 집합의 위상적 구조 또한 보존한다는 사실을 보여준다. 특히 어떤 점이 집합에 임의로 가까이 접근할 수 있는 위치에 있다면, 그 점의 상 역시 원래 집합의 상에 임의로 가까이 접근할 수 있게 된다.
정리의 의미
폐포 \( Cl(A) \)는 집합 \( A \)에 속하는 모든 점과 함께, \( A \)에 무한히 가까이 접근할 수 있는 경계점들을 포함한 집합이다.
따라서 \( x \in Cl(A) \)라는 것은 \( x \)가 반드시 \( A \)의 원소일 필요는 없지만, \( A \)와 위상적으로 분리될 수 없는 위치에 있다는 뜻이다.
연속함수는 이러한 "가까움"의 관계를 유지한다. 즉, 원래 공간에서 집합 \( A \)의 폐포에 속하던 점은 함수를 적용한 뒤에도 상집합 \( f(A) \)의 폐포 안에 남게 된다.
이 성질은 위상수학에서 연속성의 핵심적인 특징 가운데 하나이며, 연속함수가 공간의 구조를 어떻게 보존하는지를 이해하는 데 중요한 역할을 한다.
예제
실수공간 \( \mathbb{R} \)에서 정의된 연속함수
$$ f(x)=x^2 $$
와 집합
$$ A=(0,2) $$
를 생각해 보자.
집합 \( A \)의 폐포는
$$ Cl(A)=[0,2] $$
이다. 열린구간 \( (0,2) \)에는 포함되지 않지만, 경계점인 \( 0 \)과 \( 2 \)를 함께 포함하기 때문이다.
함수 \( f(x)=x^2 \)를 적용하면 집합 \( A \)의 상은
$$ f(A)=(0,4) $$
가 된다.
따라서 상집합의 폐포는
$$ Cl(f(A))=[0,4] $$
이다.
이제 정리를 확인해 보자.
- \( x=0 \in Cl(A) \)이면 \( f(0)=0 \in Cl(f(A)) \)이다.
- \( x=2 \in Cl(A) \)이면 \( f(2)=4 \in Cl(f(A)) \)이다.
- 임의의 \( x \in (0,2) \)에 대해서도 \( f(x) \in Cl(f(A)) \)가 성립한다.
즉, 집합 \( A \)의 폐포에 속하는 모든 점의 상은 항상 \( f(A) \)의 폐포 안에 존재한다. 이 예제는 정리의 내용을 직관적으로 보여준다.
증명
\( f : X \to Y \)를 연속함수라 하고, \( x \in X \), \( A \subset X \)라 하자.
먼저 \( f(x) \)가 \( f(A) \)의 폐포에 속하지 않는다고 가정한다.
$$ f(x) \notin Cl(f(A)) $$
폐포의 정의에 따르면, \( f(x) \)를 포함하면서 \( f(A) \)와 전혀 만나지 않는 열린 근방 \( B \subseteq Y \)가 존재한다.
즉,
$$ B \cap f(A)=\emptyset $$
이다.
\( f \)가 연속이므로 열린집합 \( B \)의 원상
$$ f^{-1}(B) $$
은 \( X \)에서 열린집합이며, 동시에 \( x \)를 포함하는 열린 근방이 된다.
그런데 \( B \)가 \( f(A) \)와 만나지 않으므로, 그 원상 역시 \( A \)와 만나지 않는다.
즉,
$$ f^{-1}(B)\cap A=\emptyset $$
가 성립한다.
따라서 \( x \)를 포함하면서 \( A \)와 교집합을 갖지 않는 열린 근방이 존재하게 된다. 이는 \( x \)가 \( A \)의 폐포에 속하지 않음을 의미한다.
즉,
$$ x \notin Cl(A) $$
이다.
결국 다음 명제를 얻는다.
$$ f(x) \notin Cl(f(A)) \implies x \notin Cl(A) $$
이는 원래 정리의 대우(contrapositive)이다. 따라서 대우명제의 동치성에 의해
$$ x \in Cl(A) \implies f(x) \in Cl(f(A)) $$
가 성립한다.
주: 이 증명의 핵심은 대우를 이용하는 데 있다. 만약 \( f(x) \)가 \( f(A) \)의 폐포에 속하지 않는다면, \( f(x) \) 주위에는 \( f(A) \)와 만나지 않는 열린 근방이 존재한다. 연속성에 의해 그 원상은 \( x \)를 포함하는 열린 근방이 되며, 이 근방 역시 \( A \)와 교집합을 갖지 않는다. 따라서 \( x \)는 \( A \)의 폐포에 속할 수 없다.
이 정리는 연속함수가 폐포를 보존한다는 사실을 보여주는 기본적인 결과로, 위상수학에서 연속성의 여러 성질을 이해하는 출발점이 된다.
