연속성 정리와 수렴수열

함수 $ f: X \to Y $가 연속이고 $ X $의 점들로 이루어진 수열 $ x_1, x_2, \dots $가 점 $ x $에 수렴하면, 함수값으로 이루어진 수열 $ f(x_1), f(x_2), \dots $는 $ Y $에서 $ f(x) $에 수렴한다.

다시 말해, 연속함수는 수열의 수렴을 그대로 보존한다.

수열의 항 $ x_n $이 $ x $에 가까워질수록, 대응하는 함수값 $ f(x_n) $도 자연스럽게 $ f(x) $에 가까워진다.

예제

함수 $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $를 $ f(x)=2x $로 정의하고, 수열 $ x_n=\frac{1}{n} $ ($ n\in\mathbb{N} $)을 생각해 보자.

수열 $ (x_n) $은 $ n\to\infty $일 때 $ 0 $에 수렴한다.

처음 몇 개의 항은 다음과 같다.

$ x_1=1,\quad x_2=\frac{1}{2},\quad x_3=\frac{1}{3},\quad \dots $

$ n $이 커질수록 각 항은 점점 $ 0 $에 가까워진다.

이제 수열의 각 항에 함수 $ f $를 적용해 보자.

$$ f(x_1)=f(1)=2 $$

$$ f(x_2)=f\left(\frac{1}{2}\right)=1 $$

$$ f(x_3)=f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3} $$

$$ ... $$

따라서 새로운 수열 $ f(x_n)=2x_n $은 $ 2,1,\frac{2}{3},\dots $이 되며, 이 역시 $ 0 $에 수렴한다.

즉, 함수를 적용한 뒤에도 수렴하는 값은 변하지 않으며, 실제로 $ (f(x_n)) $은 $ f(0)=0 $에 수렴한다.

이 예제는 연속함수가 수열의 수렴을 보존한다는 정리를 직관적으로 보여 준다.

이제 수열 $ (f(x_n)) $이 실제로 $ f(x) $에 수렴함을 증명해 보자. 증명의 핵심은 함수 $ f $가 연속이라는 가정을 사용하는 것이다.

연속함수의 정의에 따르면, $ Y $의 열린집합의 원상(preimage)은 항상 $ X $의 열린집합이다.

이 성질을 이용하면 $ f(x) $의 임의의 근방 $ U $에 대해, 충분히 큰 $ n $에서는 모든 $ f(x_n) $이 $ U $ 안에 포함됨을 보일 수 있다.

1단계: $ f(x) $의 임의의 근방 선택

$ Y $에서 $ f(x) $를 포함하는 임의의 근방 $ U $를 잡자.

즉, $ U $는 $ f(x) $를 포함하는 열린집합이다.

목표는 충분히 큰 모든 $ n $에 대해 $ f(x_n) $이 $ U $ 안에 들어감을 보이는 것이다.

2단계: 원상 $ f^{-1}(U) $

$ f $가 연속이므로, $ U $의 원상 $ f^{-1}(U) $는 $ X $의 열린집합이다.

즉, $ f^{-1}(U) $에 속하는 모든 점은 함수 $ f $를 거치면 $ U $ 안으로 대응된다.

또한 $ f(x)\in U $이므로 $ x\in f^{-1}(U) $이다.

3단계: 수열의 수렴성 이용

가정에 의해 수열 $ (x_1,x_2,\dots) $은 $ x $에 수렴한다.

따라서 $ x $의 임의의 근방에 대해 어떤 자연수 $ N $이 존재하여, 모든 $ n\ge N $이면 $ x_n $이 그 근방 안에 포함된다.

$ f^{-1}(U) $는 $ x $를 포함하는 열린 근방이므로, 이 정의를 그대로 적용할 수 있다.

4단계: 충분히 큰 $ n $

결국 어떤 자연수 $ N $이 존재하여 모든 $ n\ge N $에 대해 $ x_n\in f^{-1}(U) $가 된다.

이는 곧 모든 $ n\ge N $에 대해 $ f(x_n)\in U $임을 의미한다.

결론

충분히 큰 모든 $ n $에 대해 $ f(x_n) $이 $ U $ 안에 포함되므로, 수열 $ (f(x_n)) $은 $ f(x) $에 수렴한다.

따라서 연속함수는 수열의 수렴을 보존한다. 즉, $ (x_n) $이 $ x $에 수렴하면 $ (f(x_n)) $은 반드시 $ f(x) $에 수렴한다.

이로써 연속함수가 수열의 수렴을 보존한다는 정리가 증명되었다.