위상수학에서 포함 사상의 연속성

위상공간 \( X \)와 그 부분집합 \( Y \subseteq X \)가 주어졌다고 하자. 이때 포함 사상(inclusion map) \( f : Y \to X \)는 모든 \( y \in Y \)에 대하여 \( f(y)=y \)로 정의된다. 즉, \( Y \)의 각 원소를 \( X \) 안의 동일한 원소에 대응시키는 사상이다. 이러한 포함 사상은 항상 연속이다.

포함 사상은 위상수학에서 매우 기본적이면서도 중요한 개념이다. 이름 그대로 부분집합을 더 큰 공간 안으로 포함시키는 역할을 하며, 부분공간 위상을 이해하는 데 핵심적인 역할을 한다.

쉽게 말해, 포함 사상은 어떤 점도 이동시키거나 변경하지 않는다. 단지 부분집합 \( Y \)에 속한 점들을 전체 공간 \( X \)의 일부로 바라보게 할 뿐이다.

참고: 포함 사상은 항등 사상과 비슷해 보이지만 동일한 개념은 아니다. 항등 사상은 하나의 공간 안에서 각 원소를 자기 자신에 대응시키는 사상인 반면, 포함 사상은 부분공간에서 더 큰 공간으로 정의되는 사상이다.

포함 사상이 연속인 이유

위상수학에서 사상 \( f \)가 연속이라는 것은 공역의 임의의 열린집합 \( U \)에 대해 그 원상 \( f^{-1}(U) \)가 정의역에서도 열린집합이 되는 것을 의미한다.

부분공간 위상의 정의에 따르면, \( Y \)의 열린집합은 \( X \)의 열린집합과 \( Y \)의 교집합으로 만들어진다.

즉, \( X \)의 열린집합 \( U \)에 대하여 다음이 성립한다.

$$ f^{-1}(U) = U \cap Y $$

그런데 \( U \cap Y \)는 부분공간 위상의 정의에 의해 항상 \( Y \)에서 열린집합이다.

따라서 \( X \)의 모든 열린집합 \( U \)에 대해 원상 \( f^{-1}(U) \)가 \( Y \)에서 열린집합이 되므로, 포함 사상 \( f \)는 연속이다.

참고: 부분공간 위상은 포함 사상이 자연스럽게 연속이 되도록 정의된 위상이다. 따라서 포함 사상의 연속성은 부분공간 위상의 가장 기본적인 성질 가운데 하나이다.

예제로 살펴보기

실수 직선 \( X=\mathbb{R} \)과 그 부분집합 \( Y=(0,1) \)을 생각해 보자. 여기서 \( Y \)는 0과 1 사이의 모든 실수로 이루어진 열린구간이다.

포함 사상 \( f : Y \to X \)는 다음과 같이 정의된다.

$$ f(y) = y \ \ \ \text{for all} \ \ y \in (0,1) $$

이 사상은 \( Y \)의 점들을 변화시키지 않는다. 단지 열린구간 \( (0,1) \)을 전체 실수 공간 \( \mathbb{R} \)의 부분으로 바라보게 할 뿐이다.

이제 \( X \)의 열린집합 가운데 하나인

$$ U = (-1,0.5) $$

를 생각해 보자.

\( U \)와 \( Y=(0,1) \)의 교집합은 다음과 같다.

$$ U \cap Y = (-1,0.5) \cap (0,1) = (0,0.5) $$

결과로 얻어진 \( (0,0.5) \)는 \( Y \) 안의 열린구간이며, 따라서 \( Y \)의 부분공간 위상에서 열린집합이다.

이와 같은 현상은 특정한 열린집합에만 해당하는 것이 아니다. \( X \)의 어떤 열린집합을 선택하더라도 그 원상은 항상 \( Y \)에서 열린집합이 된다.

따라서 포함 사상 \( f : Y \to X \)는 연속이며, 이는 모든 부분공간에 대해 일반적으로 성립하는 중요한 사실이다.