몫위상에서의 연속성
몫위상(quotient topology)의 가장 중요한 특징 가운데 하나는 전사 함수 \( f: X \to A \)가 정의에 의해 자동으로 연속이 된다는 점이다. 다시 말해, 몫위상은 함수 \( f \)가 연속이 되도록 설계된 위상이라고 볼 수 있다.
위상공간 \( X \)와 전사 함수 \( f: X \to A \)를 생각해 보자. 여기서 \( A \)는 임의의 집합이며, 반드시 \( X \)의 부분집합일 필요는 없다.
\( A \) 위에 몫위상을 부여하면 함수 \( f \)는 자연스럽게 연속 함수가 된다.
그 이유는 몫위상에서 열린집합을 정의하는 방식에 있다. 집합 \( V \subseteq A \)는 그 원상 \( f^{-1}(V) \)가 \( X \)에서 열린집합일 때, 그리고 그때에만 \( A \)에서 열린집합으로 정의된다.
즉, \( A \)의 열린집합은 임의로 정해지는 것이 아니라, 함수 \( f \)를 통해 \( X \)의 열린집합 구조를 반영하도록 결정된다.
이 때문에 연속 함수의 정의인 "열린집합의 원상이 열린집합이다"라는 조건이 처음부터 자동으로 만족된다.
참고. 몫위상은 열린집합의 원상을 기준으로 정의되므로, 함수 \( f \)의 연속성을 별도로 증명할 필요가 없다. 연속성은 몫위상의 정의에 이미 포함되어 있다.
예제로 이해하기
세 개의 점으로 이루어진 공간 \( X = \{a, b, c\} \)를 생각하자.
이제 집합 \( A = \{1, 2\} \)에 대해 다음과 같은 전사 함수 \( f: X \to A \)를 정의한다.
- \( f(a) = f(b) = 1 \)
- \( f(c) = 2 \)
이 함수는 \( X \)의 두 점 \( a \)와 \( b \)를 하나의 점 \( 1 \)로 식별하고, 점 \( c \)는 \( 2 \)에 대응시킨다.
몫위상에서는 집합 \( V \subseteq A \)가 열린집합인지 확인하기 위해 먼저 그 원상 \( f^{-1}(V) \)를 살펴본다. 원상이 \( X \)에서 열린집합이면 \( V \)도 열린집합이 된다.
예를 들어 \( V = \{1\} \subseteq A \)라고 하자. 이때 \( V \)의 원상은 \( f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} \)이다. 따라서 \( \{a, b\} \)가 \( X \)에서 열린집합이면 \( \{1\} \)도 \( A \)에서 열린집합이 된다.
이제 \( X \)의 위상이 \( \emptyset \), \( X \), \( \{a, b\} \), \( \{c\} \)를 열린집합으로 포함한다고 가정하자.
이 경우 \( A \)의 열린집합은 다음과 같이 결정된다.
- \( f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \)이며, 공집합은 항상 열린집합이다.
- \( f^{-1}(\{1,2\}) = \{a,b,c\} = X \)이며, 전체 공간은 항상 열린집합이다.
- \( f^{-1}(\{1\}) = \{a,b\} \)이며, 이는 \( X \)에서 열린집합이다.
- \( f^{-1}(\{2\}) = \{c\} \)이며, 역시 \( X \)에서 열린집합이다.
따라서 \( A \)의 열린집합은
\( \emptyset,\ \{1\},\ \{2\},\ \{1,2\} \)
가 된다.
이 예제에서 확인할 수 있듯이, 몫위상은 \( A \)의 열린집합을 \( X \)의 열린집합 구조에 맞추어 결정한다. 그 결과 \( A \)에서 열린집합인 모든 집합의 원상은 자동으로 \( X \)에서 열린집합이 된다.
결론적으로, 함수 \( f \)의 연속성은 별도의 정리가 아니라 몫위상의 정의에서 직접 따라오는 성질이다. 이것이 바로 몫위상이 위상수학에서 중요한 역할을 하는 이유 중 하나이다.
