연속함수의 합성에 관한 정리

두 함수 $ f: X \to Y $와 $ g: Y \to Z $가 모두 연속이면, 합성함수 $ g \circ f: X \to Z $도 연속이다.

이 정리는 위상수학과 해석학에서 매우 기본적인 결과 가운데 하나이다. 연속인 함수를 차례대로 적용하면, 그 결과로 얻어지는 합성함수 역시 항상 연속이라는 사실을 말한다.

다음과 같은 두 연속함수가 있다고 하자.

먼저 $ f $를 적용한 뒤 그 결과에 다시 $ g $를 적용하면 새로운 함수 $ g \circ f $를 얻는다.

이 정리에 따르면, $ f $와 $ g $가 모두 연속이라면 합성함수 $ g \circ f $ 역시 반드시 연속이다.

예제

다음 두 함수를 생각해 보자.

$$ f(x) = x^2 \ \text{on} \ \mathbb{R} $$

$$ g(y) = \frac{y}{2} \ \text{on} \ \mathbb{R} $$

두 함수는 모두 실수 전체 $ \mathbb{R} $에서 연속이다.

이들을 합성하면 다음과 같은 함수를 얻는다.

$$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = \frac{x^2}{2} $$

이 함수가 연속인지 확인하기 위해 열린구간 $ (0,2) \subset \mathbb{R} $을 예로 들어 보자.

합성함수에 대한 이 구간의 원상은 다음과 같다.

$$ (g \circ f)^{-1}((0,2))=\left\{x\in\mathbb{R}:0<\frac{x^2}{2}<2\right\} $$

부등식을 정리하면 다음을 얻는다.

$$ 0

따라서 원상은

$$ (-2,0)\cup(0,2) $$

이 집합은 열린집합이다.

즉, 열린집합의 원상이 다시 열린집합이 되므로, 합성함수 $ g \circ f(x)=\frac{x^2}{2} $는 이 경우 연속임을 확인할 수 있다.

이와 같은 논리는 $ \mathbb{R} $의 모든 열린집합에 대해 동일하게 적용된다. 따라서 합성함수는 $ \mathbb{R} $ 전체에서 연속이다.

이제 이 정리를 일반적인 경우에 대해 증명해 보자.

$ Z $의 임의의 열린집합 $ U $를 선택하자.

합성함수 $ g \circ f $가 연속임을 보이려면, $ U $의 원상 $ (g \circ f)^{-1}(U) $가 $ X $에서 열린집합임을 증명하면 충분하다.

$ g $가 연속이므로 $ U $의 원상 $ g^{-1}(U) $는 $ Y $에서 열린집합이다.

또한 $ f $도 연속이므로, 열린집합 $ g^{-1}(U) $의 원상 $ f^{-1}(g^{-1}(U)) $는 $ X $에서 열린집합이다.

한편 합성함수의 원상은 다음과 같이 표현된다.

$$ (g \circ f)^{-1}(U)=f^{-1}(g^{-1}(U)) $$

따라서 $ (g \circ f)^{-1}(U) $는 $ X $에서 열린집합이다.

이는 임의의 열린집합의 원상이 항상 열린집합임을 의미하므로, 합성함수 $ g \circ f $는 연속이다.

이로써 정리가 증명되었다.