연속 함수가 반드시 개사상인 것은 아니다

연속 함수 $ f: X \to Y $가 정의역 $ X $의 열린집합을 항상 공역 $ Y $의 열린집합으로 보내는 것은 아니다.

위상수학을 처음 공부할 때 많은 사람들이 연속 함수라면 열린집합도 그대로 보존할 것이라고 생각한다. 하지만 이는 사실이 아니다.

연속성은 열린집합의 상(image)이 아니라 역상(preimage)에 관한 성질이다. 따라서 함수가 연속이라고 해서 열린집합의 상이 반드시 열린집합이 되는 것은 아니다.

즉, 모든 연속 함수가 개사상(open map)인 것은 아니다.

개사상이란 무엇인가? 개사상 $ f: X \to Y $는 정의역 $ X $의 모든 열린집합을 공역 $ Y $의 열린집합으로 보내는 사상이다.

예제로 이해하기

함수 $ f(x)=x^2 $를 생각해 보자. 이 함수는 실수 전체 집합 $ \mathbb{R} $에서 연속이다.

이제 $ \mathbb{R} $의 열린구간 $ (-2,2) $를 살펴보자. 이 구간은 $ -2 $와 $ 2 $ 사이의 모든 실수를 포함한다.

이 구간의 각 점에 함수 $ f(x)=x^2 $를 적용하면 다음과 같은 값을 얻는다.

$$ f(-2) = (-2)^2 = 4 \\ f(0) = 0^2 = 0 \\ f(2) = 2^2 = 4 $$

따라서 열린구간 $ (-2,2) $의 상은

$$ [0,4) $$

이 된다.

그런데 $ [0,4) $는 열린집합이 아니다.

왜냐하면 $ 0 $은 구간에 포함되어 있지만, $ 0 $을 중심으로 하는 충분히 작은 열린구간조차도 $ [0,4) $ 안에 완전히 포함될 수 없기 때문이다. 즉, $ 0 $은 내부점이 아니다.

이 예는 매우 중요한 사실을 보여 준다. 함수 $ f(x)=x^2 $는 분명 연속이지만, 열린집합 $ (-2,2) $를 열린집합으로 보내지 않는다.

따라서 $ f(x)=x^2 $는 연속 함수이지만 개사상은 아니다.

연속성과 개사상성은 모두 열린집합과 관련된 개념이지만, 각각 서로 다른 방향에서 열린집합을 다룬다.

연속 함수
사상 $ f: X \to Y $가 연속이라는 것은 공역 $ Y $의 모든 열린집합의 역상 $ f^{-1}(U) $가 정의역 $ X $에서 열린집합이라는 뜻이다.
연속성은 공역의 열린집합을 정의역으로 되가져왔을 때 열린집합이 유지되는지를 살펴본다. 다시 말해, 연속성은 열린집합의 역상과 관련된 성질이다.
개사상
사상 $ f: X \to Y $가 개사상이라는 것은 정의역 $ X $의 열린집합 $ V $에 대해 그 상 $ f(V) $가 공역 $ Y $에서 열린집합이라는 뜻이다.
개사상성은 열린집합을 정의역에서 공역으로 보냈을 때도 열린집합으로 남는지를 다룬다. 즉, 열린집합의 상과 관련된 성질이다.

이처럼 두 개념은 비슷해 보이지만 본질적으로 서로 다른 조건이다.

연속성은 열린집합의 역상을 보존하는 성질이고, 개사상성은 열린집합의 상을 보존하는 성질이다.

따라서 어떤 함수가 연속이라고 해서 반드시 개사상인 것은 아니며, 반대로 개사상이라고 해서 반드시 연속인 것도 아니다.

결론적으로 연속성과 개사상성은 서로 독립적인 개념이며, 위상수학에서는 이를 명확히 구분하여 다루어야 한다.