集合的边界

在拓扑空间 $ X $ 中，子集 $ A $ 的边界是由这样一类点构成的集合：这些点属于 $ A $ 的闭包，却不属于 $ A $ 的内部。 \[ \partial A = \text{Cl}(A) - \text{Int}(A) \]

$ \text{Cl}(A) $ 表示 $ A $ 的闭包，即集合本身及其全部极限点（聚点）。

$ \text{Int}(A) $ 表示 $ A $ 的内部，由那些存在开邻域且邻域完全包含于 $ A $ 的点组成。

集合边界的直观示意图

边界并不是集合的固有属性，而是依赖于所选定的拓扑结构。

拓扑不同，边界也可能不同。

等价地说，集合 $ A $ 的边界由满足以下条件的点组成：该点的任意开邻域都同时与 $ A $ 及其补集 $ X \setminus A $ 相交。

一个典型例子

在通常拓扑下，考虑实数空间 $ \mathbb{R} $ 中的开区间

$$ A = (0, 1) $$

求 $ A $ 的边界。

1] 闭包

开区间 $ (0,1) $ 的闭包是

$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$

因为区间内各点都是聚点，且 0 与 1 是端点。

2] 内部

$$ \text{Int}(A) = (0, 1) $$

区间内每一点都拥有完全包含于 $ A $ 的开邻域。

3] 边界

$$ \partial A = [0, 1] - (0, 1) = \{0, 1\} $$

因此，集合的边界是端点 0 与 1。

这两个点的任意开邻域都不可避免地同时“触及”区间内部与外部。

开区间边界示例图

点 $ x \in X $ 属于 $ A $ 的边界，当且仅当 $ x $ 的任意开邻域都与 $ A $ 以及补集 $ X \setminus A $ 相交。

该定理给出了判定边界点的实用标准。

仍取 $ A = (0,1) \subset \mathbb{R} $。

检验 0

任取开邻域 $ (-\epsilon, \epsilon) $。

邻域内既有属于 $ A $ 的点，也有属于补集的点。

因此 $ 0 \in \partial A $。

检验 1

任取开邻域 $ (1-\epsilon, 1+\epsilon) $。

同样同时与 $ A $ 及补集相交。

因此 $ 1 \in \partial A $。

检验内部点 0.5

可选取一个完全包含于 $ (0,1) $ 的开邻域。

该邻域不与补集相交。

因此 $ 0.5 \notin \partial A $。

内部点邻域示意图

由此再次确认

$$ \partial A = \{0,1\} $$

$ \partial A \subseteq A $ 当且仅当 $ A $ 为闭集
\[ \partial A \subseteq A \Leftrightarrow A \text{ 是闭集} \]
$ \partial A \cap A = \emptyset $ 当且仅当 $ A $ 为开集
\[ \partial A \cap A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ 是开集} \]
$ \partial A = \emptyset $ 当且仅当 $ A $ 既开又闭
\[ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ 既开又闭} \]
边界等于两个闭包的交集
\[ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \]
边界始终是闭集
$\partial A$ 是闭集与闭集的交集，因此必为闭集。
$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $
$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \text{Cl}(A) $

等等。