拓扑的细粗比较
在研究同一集合 $ X $ 上的不同拓扑结构时，我们常用"较细拓扑"和"较粗拓扑"来描述它们之间的精细程度差异。这是拓扑学中一个非常基础却十分关键的概念。
- 较细的拓扑
如果一个拓扑包含更多的开集，我们就说它比另一个拓扑更细。它提供的信息更丰富，区分能力更强。 - 较粗的拓扑
如果一个拓扑包含的开集更少，则称为更粗。它的结构更简单，区分能力相对较弱。
用一个简单的例子理解"细"与"粗"
考虑集合 \( X = \{a, b\} \)，我们给它定义两种拓扑：
- \( \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} \)，这是平凡拓扑，只有空集和全集是开集。
- \( \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{a, b\}\} \)，比前者多了开集 \( \{a\} \)。
因为 \( \tau_2 \) 包含更多开集，所以比 \( \tau_1 \) 更细。相应地，开集较少的 \( \tau_1 \) 则是更粗的拓扑。
拓扑的细粗与函数的连续性
一个重要事实是：如果一个函数在较粗拓扑下连续，那么在较细拓扑下也一定连续。不过反过来不一定成立。
判断连续性的标准是：值域中任意开集的原像必须在定义域中也是开集。
拓扑越细，开集越多，需要检查的原像就越多，连续性的要求也就越严格。
拓扑越粗，开集越少，更容易满足连续性的条件。
因此，粗拓扑的连续性意味着细拓扑的连续性，但细拓扑的连续性不保证在粗拓扑下仍然成立。
例 1：常值函数
仍然考虑集合 \( X = \{a, b\} \) 以及拓扑 \( \tau_1 \) 与 \( \tau_2 \)：
- 较粗拓扑：\( \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} \)。
- 较细拓扑：\( \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} \)。
定义函数 \( f : X \to Y \)：
$$ f(a)=1 \quad f(b)=1 $$
这是最简单的常值函数。
在较细拓扑 \( \tau_2 \) 下，各开集的原像均为开集，因此 \( f \) 连续。
- \( f^{-1}(\{1\})=\{a,b\} \)，开集。
- \( f^{-1}(\varnothing)=\varnothing \)，永远为开集。
由于较粗拓扑 \( \tau_1 \) 只需检查空集与全集两个开集，因此 \( f \) 在 \( \tau_1 \) 下也连续。
例 2：非常值函数
定义另一函数 \( g : X \to Y \)：
$$ g(a)=1 \quad g(b)=2 $$
在较细拓扑 \( \tau_2 \) 下：
- \( g^{-1}(\varnothing)=\varnothing \)。
- \( g^{-1}(\{1,2\})=\{a,b\} \)。
- \( g^{-1}(\{1\})=\{a\} \)。
- \( g^{-1}(\{2\})=\{b\} \)。
所有原像都是开集，因此 \( g \) 在 \( \tau_2 \) 下是连续的。
然而在较粗拓扑 \( \tau_1 \) 下，出现了问题：
- \( g^{-1}(\{1\})=\{a\} \)，但 \( \{a\} \) 不是 \( \tau_1 \) 的开集。
因此，\( g \) 在较粗拓扑 \( \tau_1 \) 下不连续。
总结
较细拓扑拥有更多开集，连续性的要求更严格。较粗拓扑开集较少，更容易满足连续条件。
从例子可以看出：在细拓扑下连续的函数，未必在粗拓扑下仍然连续；但在粗拓扑下连续的函数，必定在更细的拓扑下也连续。
理解这一点，对于进一步学习拓扑空间中的连续映射、映射间的关系，以及拓扑结构本身的比较，都非常重要。
