边界为空与既开又闭集
在拓扑空间中，集合 \(A\) 的边界 \(\partial A\) 为空，当且仅当 \(A\) 同时是开集和闭集（既开又闭集）。 $$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ 为既开又闭集} $$
直观地说，这个结论意味着：如果一个集合没有“边界点”，那么它的结构在拓扑意义上是非常特殊的，它既是开集，又是闭集。 所谓边界点，是指既属于 \(A\) 的闭包，又属于其补集闭包的点。
几个典型例子
例1
在实数空间 \(\mathbb{R}\) 的标准拓扑中，考虑集合 \( A = \emptyset \)。
先计算闭包：
$$ \text{Cl}(A) = \emptyset $$
补集为 \(A^c = \mathbb{R}\)，其闭包为：
$$ \text{Cl}(A^c) = \mathbb{R} $$
因此边界为：
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$
边界为空，所以 \(A\) 是既开又闭集。空集在任何拓扑中都是开集，同时也满足闭集的定义。
例2
在同一空间中，考虑集合 \( A = \mathbb{R} \)。
闭包为：
$$ \text{Cl}(A) = \mathbb{R} $$
补集为 \(A^c = \emptyset\)，其闭包为：
$$ \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$
因此：
$$ \partial A = \mathbb{R} \cap \emptyset = \emptyset $$
边界仍然为空，因此整个空间 \(\mathbb{R}\) 也是既开又闭集。
例3
考虑集合 \(A = [0,1)\)。
其闭包为：
$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$
补集为 \(A^c = (-\infty, 0) \cup [1, \infty)\)，其闭包为：
$$ \text{Cl}(A^c) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
因此边界为：
$$ \partial A = [0,1] \cap \left( (-\infty, 0] \cup [1, \infty) \right) = \{0, 1\} $$
边界不为空，因此 \(A\) 不是既开又闭集。实际上，它既不是开集，也不是闭集。
这些例子说明，一个集合是否同时具备“开”和“闭”的性质，可以通过其边界是否为空来判断。
证明思路
根据定义，集合 \(A\) 的边界为：
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) $$
我们分别证明两个方向。
1] 边界为空，推出集合既开又闭
若 \(\partial A = \emptyset\)，则有：
$$ \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$
首先判断是否为闭集。 由于闭包 \(\text{Cl}(A)\) 与 \(\text{Cl}(A^c)\) 没有交点，可推出：
$$ \text{Cl}(A) \subseteq A $$
结合 \(A \subseteq \text{Cl}(A)\)，得到：
$$ \text{Cl}(A) = A $$
因此 \(A\) 是闭集。
再判断是否为开集。 由
$$ \text{Cl}(A^c) \subseteq A^c $$
可知 \(A^c\) 是闭集，从而 \(A\) 是开集。
因此 \(A\) 同时是开集和闭集。
2] 集合既开又闭，推出边界为空
设 \(A\) 同时是开集和闭集，则：
$$ A = \text{Cl}(A), \quad A^c = \text{Cl}(A^c) $$
代入边界定义：
$$ \partial A = A \cap A^c $$
集合与其补集的交集恒为空，因此：
$$ \partial A = \emptyset $$
结论
综上所述：
$$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ 为既开又闭集} $$
也就是说，一个集合边界为空，当且仅当它既是开集又是闭集。
