集合的边界与内部互不相交

集合的边界 $ \partial A $ 与其内部 $ \text{Int}(A) $ 的交集始终为空集：$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$

在拓扑学中，边界与内部是刻画集合结构的两个核心概念。一个重要且基本的结论是，它们之间不会有任何重合。

一个直观的例子

考虑带有通常拓扑的实数空间 $\mathbb{R}$，其中开集就是开区间。

取集合 $A = (0, 1)$，即 0 与 1 之间的开区间。

首先来看内部。集合 $A$ 的内部由所有“完全处在集合内部”的点组成。具体来说，就是那些可以找到一个完全包含在 $A$ 内的邻域的点。在这个例子中，$A$ 中的每一个点都满足这一条件：

$$ \text{Int}(A) = A = (0, 1) $$

接下来是闭包。集合 $A$ 的闭包不仅包含 $A$ 本身，还包括其“边界上的点”，也就是 0 和 1：

$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$

再来看补集。$A$ 在 $\mathbb{R}$ 中的补集为：

$$ \mathbb{R} \setminus A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

这个补集本身已经是闭集，因此它的闭包仍然是它自身：

$$ \text{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

根据定义，集合的边界是集合本身的闭包与其补集的闭包的交集：

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) $$

$$ \partial A = [0, 1] \cap \big((-\infty, 0] \cup [1, \infty)\big) $$

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

可以看到，边界只包含两个端点 0 和 1。

现在来看边界与内部的交集：

$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \{0, 1\} \cap (0, 1) = \emptyset $$

结果是空集。这说明边界上的点不会属于内部，内部的点也不会落在边界上。

这个简单的例子清楚地展示了一个普遍成立的结论：集合的边界与内部始终互不相交。

这一性质可以直接从定义中理解。

集合 $A$ 的边界定义为：

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$

换句话说，边界上的点具有这样一个特征：无论取多小的邻域，这个邻域都会同时接触到集合内部和集合外部。

而集合 $A$ 的内部 $ \text{Int}(A) $ 则完全不同。内部点要求存在一个邻域，这个邻域完全包含在 $A$ 内，不会碰到外部。

现在分别来看这两类点：

如果 $x \in \partial A$，那么它的任意邻域都会同时与 $A$ 和 $X \setminus A$ 相交。这意味着，不可能找到一个邻域完全落在 $A$ 中，因此：

$x \notin \text{Int}(A)$

反过来，如果 $y \in \text{Int}(A)$，那么存在一个邻域完全包含在 $A$ 内。这说明这个邻域不会与 $X \setminus A$ 相交，因此：

$y \notin \partial A$

两种情况结合起来，就得到结论：边界与内部之间没有任何公共点。

$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$