集合的边界

设 $ A \subset X $。如果点 $ x $ 的任意邻域同时与集合 $ A $ 以及 $ A $ 的补集（即 $ X \setminus A $）相交，则称 $ x $ 为集合 $ A $ 的边界点。

直观地说，如果找不到一个邻域能够完全落在 $ A $ 内，或者完全落在 $ A $ 的外部，那么点 $ x $ 就位于集合 $ A $ 的边界上。

一个简单的例子

通过一个具体例子，可以更容易理解这个概念。

设实数轴 $ \mathbb{R} $ 上的集合

$$ A = (0,1) $$

也就是说，集合 $ A $ 是区间 0 和 1 之间的所有点，但不包含端点 0 和 1。

在这个例子中，点 0 和点 1 都是集合 $ A $ 的边界点。原因很简单。无论我们取多小的邻域，只要它以 0 或 1 为中心，这个邻域的一部分都会落在区间 $ (0,1) $ 内，同时另一部分又会落在区间之外。

点 1
考虑邻域 $ (1-\epsilon,1+\epsilon) $。当 ε 很小时，区间 $ (1-\epsilon,1) $ 位于 $ (0,1) $ 内，而区间 $ (1,1+\epsilon) $ 位于 $ (0,1) $ 外。因此，邻域同时与集合内部和外部相交，所以点 1 是集合 $ A $ 的边界点。
点 0
同样地，考虑邻域 $ (0-\epsilon,0+\epsilon) $。当 ε 很小时，区间 $ (0,0+\epsilon) $ 位于 $ (0,1) $ 内，而区间 $ (0-\epsilon,0) $ 位于 $ (0,1) $ 外。因此，点 0 也是集合 $ A $ 的边界点。
区间 (0,1) 内的点
如果 $ x $ 位于区间 $ (0,1) $ 的内部，那么总可以找到一个足够小的邻域 $ (x-\epsilon,x+\epsilon) $，使得整个邻域都包含在 $ (0,1) $ 内。因此，这个邻域不会与 $ X\setminus A $ 相交。由此可见，区间内部的点不是边界点。
区间 (0,1) 外的点
如果 $ x $ 位于区间 $ (0,1) $ 之外，并且 $ x \neq 0,1 $，同样可以找到一个足够小的邻域 $ (x-\epsilon,x+\epsilon) $，使得整个邻域完全落在 $ X\setminus A $ 中。因此，这些点也不是集合 $ A $ 的边界点。

因此，在这个例子中，集合 $ A $ 的边界就是两个端点：

$$ \partial A = \{0,1\} $$

简单总结一下。如果一个点的任意邻域既包含集合中的点，又包含集合外的点，那么这个点就是集合的边界点。

下面给出这个结论的证明。我们从两个方向进行说明。

1] 若 $ x $ 是集合 $ A $ 的边界点

设

$$ x \in \partial A $$

根据边界的定义，有

$$ x \in \overline{A} \quad \text{且} \quad x \notin \operatorname{Int}(A) $$

因为 $ x \in \overline{A} $，所以 $ x $ 的任意邻域都与集合 $ A $ 相交。

同时，由于 $ x \notin \operatorname{Int}(A) $，说明不存在一个邻域能够完全包含在 $ A $ 内。因此，$ x $ 的任意邻域必然与 $ X\setminus A $ 相交。

因此，每一个邻域都会同时与 $ A $ 和 $ X\setminus A $ 相交。

2] 若 $ x $ 的任意邻域同时与 $ A $ 和 $ X\setminus A $ 相交

现在假设点 $ x $ 的每一个邻域都同时与 $ A $ 和 $ X\setminus A $ 相交。

这意味着

$$ x \in \overline{A} \quad \text{且} \quad x \in \overline{X\setminus A} $$

而根据拓扑学中的基本关系

$$ \overline{X\setminus A} = X \setminus \operatorname{Int}(A) $$

因此可得

$$ x \notin \operatorname{Int}(A) $$

于是

$$ x \in \overline{A} \quad \text{且} \quad x \notin \operatorname{Int}(A) $$

从而得到

$$ x \in \overline{A} - \operatorname{Int}(A) = \partial A $$

由此证明，点 $ x $ 是集合 $ A $ 的一个边界点。