集合 A 为闭集当且仅当其边界包含于 A

在拓扑学中，集合 \( A \) 的边界 \( \partial A \) 包含于 \( A \)，当且仅当 \( A \) 是闭集。换句话说，一个集合如果包含自己的全部边界点，那么它就是闭集。 \[ \partial A \subseteq A \Leftrightarrow A \text{ 为闭集} \]

实例

示例 1

在欧几里得空间 \(\mathbb{R}^2\) 中，设集合 \( A \) 为以原点为中心、半径为 1 的闭圆盘。

$$ A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 1 \} $$

在这个例子中，集合 \( A \) 的边界就是半径为 1 的圆周：

$$ \partial A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 \} $$

由于 \( A \) 是闭圆盘，它包含圆周上的所有点，因此包含自己的全部边界点：

$$ \partial A \subseteq A $$

因此，集合 \( A \) 是一个闭集。

示例 2

现在考虑另一个集合 \( B \)，它是以原点为中心、半径为 1 的开圆盘：

$$ B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 < 1 \} $$

集合 \( B \) 的边界仍然是同一条圆周：

$$ \partial B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 \} $$

但由于 \( B \) 是开圆盘，它不包含圆周上的点，因此不包含自己的边界：

$$ \partial B \nsubseteq B $$

由此可以看出，集合 \( B \) 不是闭集。

这两个简单的例子很好地说明了一个重要事实：闭集一定包含自己的边界，而开集通常不包含。

证明

下面给出该命题的证明。证明可以分为两个部分。

1] 若 A 的边界包含于 A，则 A 为闭集

假设 \( \partial A \subseteq A \)，也就是说，集合 \( A \) 的所有边界点都属于 \( A \)。

根据定义，集合 \( A \) 的边界为

\( \partial A = \overline{A} \cap \overline{A^c} \)，

其中 \( \overline{A} \) 表示 \( A \) 的闭包，\( \overline{A^c} \) 表示 \( A \) 的补集的闭包。

边界上的每一个点都是 \( A \) 或 \( A^c \) 的聚点。 如果这些点全部属于 \( A \)，说明 \( A \) 包含自身的所有聚点。

而按照闭集的定义，一个集合只要包含自己的全部聚点，就称为闭集。因此，\( A \) 必然是闭集。

2] 若 A 为闭集，则其边界包含于 A

现在假设集合 \( A \) 是闭集。需要证明 \( \partial A \subseteq A \)。

若 \( A \) 为闭集，则它等于自身的闭包：

$$ A = \mathrm{Cl}(A) $$

集合 \( A \) 的边界可以写成

$$ \partial A = \mathrm{Cl}(A) \cap \mathrm{Cl}(A^c) $$

由于 \( A \) 是闭集，因此 \( \mathrm{Cl}(A) = A \)。于是得到

$$ \partial A = A \cap \mathrm{Cl}(A^c) $$

这表示边界点既属于集合 \( A \)，同时又属于补集 \( A^c \) 的闭包。

因此可以直接得到

$$ \partial A \subseteq A $$

也就是说，当 \( A \) 是闭集时，它的边界一定包含在 \( A \) 中。

3] 结论

综上所述，可以得到如下结论：

\( \partial A \subseteq A \) 当且仅当 \( A \) 是闭集。

这一性质揭示了闭集与其边界之间的基本关系，在拓扑学和分析学中都非常重要。