稠密集

在拓扑空间 X 中，如果子集 A 的闭包等于整个空间 X，则称 A 为稠密集。$$ \overline{A}=X $$

可以把稠密集理解为“在空间中无处不在”的集合。也就是说，空间中的任意一点，要么本身就在 A 中，要么可以被 A 中的点无限接近。

换句话说，集合 A 的闭包不仅包含它自身的所有点，还包括所有可以通过 A 中点逼近得到的极限点。

典型示例

示例 1

在实数集 $ \mathbb{R} $ 的标准拓扑中，有理数集合 $ \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $ 是稠密的。

原因很简单，在任意两个不同的实数之间，总能找到有理数。因此，每一个实数都可以被有理数无限逼近。

这意味着，有理数集合的闭包正是整个实数空间：

$$ \overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R} $$

所以，$ \mathbb{Q} $ 是一个稠密集。

注。类似地，在 $ \mathbb{R} $ 中，无理数集合 $ \mathbb{I} \subset \mathbb{R} $ 也是稠密的。任意实数同样可以被无理数任意逼近，因此：$$ \overline{\mathbb{I}} = \mathbb{R} $$zh-dense-sets-in-topology#google_vignette

示例 2

在 $ \mathbb{R} $ 上的有限补拓扑中，集合 $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ 也是稠密的。

在这种拓扑中，如果一个集合的补集是有限的，那么它就是开集。

由于 $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ 的补集只有一个点 \{0\}，它显然是有限的，因此这个集合是开集。

现在来看它的闭包。为了得到闭包，需要把所有可能的聚点都考虑进去。

只要把点 0 加回去，就得到整个实数集 $ \mathbb{R} $。因此，唯一能够包含它的闭集就是整个空间：

$$ \overline{\mathbb{R} \setminus \{0\}} = \mathbb{R} $$

这说明，$ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ 在这个拓扑中是稠密的。

注。这一现象揭示了有限补拓扑的一个重要特点：所有无限集合都是稠密的。因为在这种拓扑中，闭集恰好是有限集，而任何无限集都只能被整个空间所包含。

示例 3

在 $ \mathbb{R} $ 的标准拓扑中，区间 (0,1) 并不是稠密的。

它的闭包是闭区间 [0,1]。原因是，在点 0 和 1 的任意邻域中，都可以找到属于 (0,1) 的点。

不过，[0,1] 只是实数集的一部分，并不是整个 $ \mathbb{R} $。因此：

区间 (0,1) 的闭包不等于整个空间，它就不是稠密集。

注。如果把 (0,1) 看作子空间 [0,1] 中的一个子集，情况就不同了。在这个子空间中，它的闭包正好是整个 [0,1]，因此此时 (0,1) 是稠密的。这个例子说明，稠密性的判断依赖于所处的空间，同一个集合在不同的空间中可能表现出不同的性质。

以此类推。