开集

如果在集合 A 中，对任意一点 x（x∈A）都能找到一个完全包含在 A 内的邻域，那么 A 就称为一个开集。

 

通俗来说，一个集合如果不包含它的"边界点"，就可以视为开集。

严格地讲，在拓扑空间 X 中，集合 A 是开集，当且仅当对 A 中每个点 x，都存在一个邻域完全落在 A 内。

注意：这意味着对集合中任意一点，都能找到一块完全位于集合内部的小区域，不会与集合外部发生接触。

直观例子

在数轴上，开区间是最常见也最易理解的开集例子。

什么是开区间？ 在 \( \mathbb{R} \) 上，开区间指所有满足 \( a < x < b \) 的实数 x，其中 a 和 b 为实数且 a < b。

记作 (a,b)，圆括号表示端点 a 和 b 不属于该集合。

例如，区间 (3,10) 是实数轴上的一个开集。

此时，集合 A 含有所有大于 3 且小于 10 的实数，不包括端点。

在该区间内，每一个点 x 都可以找到一个更小的开区间，使其完全包含在 (3,10) 之内。

例如，对 x=3.1，可以选择开区间 (3.09,3.11)，它完全位于 (3,10) 内。

同理，区间内任意一点都可以这样处理，因为在任何两个实数之间都存在无穷多个实数。

注意：即使取非常接近边界的点，例如 3.001，我们依然能构造它的邻域（如 3.001±0.00000001），并且这个邻域依旧完全落在开区间 (3,10) 内。

这是最基本的一维开集示例。

更多例子

开集的概念可以自然推广到二维平面。

例如，以原点 (0,0) 为圆心、半径 r=1 的圆内部所有点：

$$ x^2+y^2<1 $$

该不等式描述的是所有距离圆心小于 1 的点，只包含圆内部，不包含圆周。

这就是二维空间中的一个开集。

那么闭集是什么？

如果我们把圆周上的点也加入集合，就得到一个闭集：

$$ x^2+y^2 \le 1 $$

此时就不再满足"每个点都拥有完全落在集合内部的邻域"这一性质。

特别是圆周上的点无法拥有这样的邻域。

注意：在欧氏空间 R² 中，圆方程 \( x^2+y^2=1 \) 所描述的点集既不是开集也不是闭集，因为它只包含圆周本身；而 \( x^2+y^2<1 \) 是开集；如果改为 \( x^2+y^2\le 1 \)，则该集合是闭集。

同样地，在三维空间中，球体内部（不含球面）构成一个开集。

拓扑的选择

开区间之所以常被使用，是因为它直观易懂，有助于形成对开集的初步理解。

然而，开集的概念远比开区间更一般，也更抽象。

在掌握直观例子之后，我们必须进一步提升对其本质的认识。

一个集合是否为"开集"，取决于赋予空间的拓扑结构。

关键思想是：开集的定义依赖于拓扑，而不同拓扑会给出截然不同的开集。

在某些拓扑中，看起来"闭"的集合，在另一种拓扑下可能是"开"的。

换言之，"开"的含义来源于拓扑本身。

什么是拓扑？ 拓扑是一组被规定为"开集"的集合族，它必须满足一些基本规则，例如任意多个开集的并仍为开集，有限多个开集的交仍为开集。

因此，我们不应把视野局限在开区间或开圆盘这些最直观的例子上。

在拓扑学中，有些集合乍看之下不像开集，却可能在某种拓扑下被视为开集。

一个更抽象但重要的例子

考虑仅包含两个元素的集合 \( \{a, b\} \)。

在这个集合上，可以定义至少两种拓扑：平凡拓扑和离散拓扑。

• 平凡拓扑
  在平凡拓扑中，唯一的开集是空集 \( \emptyset \) 和全集 \( \{a, b\} \)。这是最简单的拓扑结构。
• 离散拓扑
  在离散拓扑中，每个子集都是开集。因此 \( \{a\} \)、\( \{b\} \)、\( \{a,b\} \) 和 \( \emptyset \) 全部是开集。

现在对集合 \( \{a\} \) 考察：

• 在平凡拓扑中，{a} 不是开集
  因为唯一的非空开集只有 \( \{a,b\} \)。
• 在离散拓扑中，{a} 是开集
  因为该拓扑中所有子集都被定义为开集。

因此，集合 \( \{a\} \) 是否为开集，取决于所选拓扑。

这个例子清楚展示了开集概念与拓扑选择之间的紧密关系。

开集定理

定理一

设拓扑空间为 (X,T)，其中 X 为空间，T 为其拓扑。若子集 S ⊂ X 满足：对任意一点 s ∈ S，都存在一个邻域 U，使得 U 完全包含在 S 内，即 U ⊂ S，则 S 为开集。

根据定义，S 之所以是开集，是因为它属于拓扑空间 (X,T) 的开集族。

换句话说，对于 S 内的任意一点 s ∈ S，总能找到一个属于 S 的邻域。

因此，每个元素 s ∈ S 都存在一个开邻域 U_s，它完全包含在 S 中。

$$ x \in U_s \subset S \subset X $$

由此可知，一个开集可以视为其所有开邻域的并。

因此，只要观察到 S 中每个点 s ∈ S 都有邻域 U_s 满足 U_s ⊂ S，便可断定 S 是开集，因为 S 是开集的并。

也就是说，一个集合是开集，当且仅当对于集合中每一点，都存在一个完全落在该集合之内的邻域。

例子：想象一张桌子，上面散落着许多玻璃弹珠，每颗弹珠代表集合中的一个点。若一个集合是"开集"，意思是无论选中哪颗弹珠，它周围总能有足够的空间自由移动，而不会触碰桌子的边缘。若对桌上的每一颗弹珠，我们都能画出一个完全位于桌面范围内的小圆，那么这些弹珠构成的集合就对应一个开集。本质上，开集意味着：无论我们选中哪一点，都能找到一块仍属于该集合的"活动空间"。

定理二

设 \( X \) 是一个集合，\( B \) 是拓扑的一个拓扑基。若子集 \( A \subset X \) 满足：对任意一点 \( x \in A \)，都存在一个基元素 \( B_x \in B \)，使得 \( x \in B_x \) 且 \( B_x \subseteq A \)，则 \( A \) 是由 \( B \) 所生成拓扑中的开集；反之亦然。

该定理刻画了由拓扑基生成的拓扑的核心特征。

换言之，开集 \( A \) 中的每一点 \( x \) 都必须拥有一个来自拓扑基的开邻域 \( B_x \)，并且该邻域完全包含在 \( A \) 内。

因此，\( A \) 在由 \( B \) 生成的拓扑中是开集。

证明：若 A 是由拓扑基 B 在 X 上生成的开集，则根据定义，A 是若干基元素的并。因此对任意 \( x \in A \)，存在至少一个基元素 \( B_x \)，满足 \( x \in B_x \subseteq A \)。反之，若对任意 \( x \in A \) 都可找到基元素 \( B_x \)，使得 \( x \in B_x \subseteq A \)，则 A 是基生成拓扑中的开集。

例 1

设 \( X = \{1, 2, 3, 4, 5\} \)，其拓扑基为 \( B = \{\{1\}, \{2, 3\}, \{4, 5\}\} \)。判断集合 \( A = \{1, 2, 3\} \) 是否为开集。

对 A 中的每个点检查：

• 点 \( 1 \)：对应基元素 \( \{1\} \)，完全包含于 \( A \)。
• 点 \( 2 \)：对应基元素 \( \{2, 3\} \)，完全包含于 \( A \)。
• 点 \( 3 \)：同样属于 \( \{2, 3\} \)，完全包含于 \( A \)。

因此，\( A \) 是开集，因为它满足定理要求。

例 2

继续使用同一集合 \( X = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) 及拓扑基 \( B = \{\{1\}, \{2, 3\}, \{4, 5\}\} \)。

判断集合 \( A = \{2, 3, 4\} \) 是否为开集：

• 点 \( 2 \)：对应基元素 \( \{2, 3\} \)，包含于 \( A \)。
• 点 \( 3 \)：仍由 \( \{2, 3\} \) 覆盖并包含于 \( A \)。
• 点 \( 4 \)：唯一的基元素是 \( \{4, 5\} \)，但其中的 5 不属于 \( A \)，因此不存在完全包含于 \( A \) 的基元素覆盖点 4。

由定理可知，\( A \) 不是开集，因为并非所有点都能找到完全包含于 \( A \) 的基元素。

附注

关于开集的一些补充：

• A 是开集当且仅当 A = Int(A)
  在拓扑空间 \( X \) 中，集合 \( A \) 是开集，当且仅当它等于其内部。内部 Int(A) 定义为所有包含于 \( A \) 的开集的并。$$ A = \text{Int}(A) $$

未尽部分可继续拓展。