下限拓扑

在下限拓扑（Lower Limit Topology）中，开集被定义为若干形如 [a, b) 的左闭右开区间的并集，其中 a < b。

通俗地说，在下限拓扑下，一个区间如果包含左端点但不包含右端点，就被认为是开集。

这种拓扑的基可以写作：

$$ B = \{ [a,b) ⊂ R \ | \ a \lt b \} $$

也就是说，基中的每个区间都包含自己的下界点。

注意：这是一种定义在实数集 R 上的特殊拓扑，与通常的标准拓扑不同。标准拓扑中的开区间是 (a, b)，既不包含左端点，也不包含右端点。

下限拓扑是拓扑学课程中常用的例子，用来展示拓扑选择如何影响"开集"的定义。通过这种比较，学生可以更好地理解拓扑结构的多样性。

在这种拓扑中，所有形如 [a,b) 的左闭右开区间都被视为开集。

一个直观例子

可以通过实数集 R 来直观地理解下限拓扑：设开集由左闭右开区间构成。

例如，[0,2)、[1,4)、[-4,2) 等集合都属于这种类型。

所有这些区间的集合共同构成了下限拓扑的基。

通过这种定义，我们可以看到，下限拓扑与标准拓扑虽然都建立在实数集上，但它们对"开"的理解却完全不同。