集合的内部与边界的并集等于其闭包

在拓扑学中，一个非常重要且直观的性质是：集合的边界 \( \partial A \) 与其内部 \( Int(A) \) 的并集，恰好等于集合 \( A \) 的闭包：

$$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \text{Cl}(A) $$

换句话说，只要把集合内部的点和边界上的点合在一起，就能完整地得到这个集合的闭包。

示例

我们来看一个具体的例子。在实数空间 \(\mathbb{R}\) 中，考虑开区间 \(A = (0, 1)\)：

首先，集合 \(A\) 的内部就是它本身，即开区间 (0,1)：

$$ Int(A) = (0, 1) $$

其次，集合 \(A\) 的闭包是闭区间 [0,1]，也就是在原来的基础上加上两个端点：

$$ Cl(A) = [0, 1] $$

再来看边界。集合 \(A\) 的边界由两个端点 0 和 1 构成：

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

现在把内部和边界取并集：

$$ \partial A \cup Int(A) = \{0, 1\} \cup (0, 1) = [0, 1] $$

可以看到，这个并集正好等于 \(A\) 的闭包：

$$ \partial A \cup Int(A) = Cl(A) $$

这个例子很好地说明了一个事实：闭包可以理解为"内部 + 边界"的整体。

证明

下面给出这一结论的一般性证明。先回顾几个基本定义：

1. 集合 \(A\) 的内部（\(Int(A)\)）
   内部是所有属于 \(A\)，并且存在一个完全包含在 \(A\) 中的开邻域的点所构成的集合。
2. 集合 \(A\) 的闭包（\(Cl(A)\)）
   闭包是包含 \(A\) 的最小闭集。等价地，它由 \(A\) 本身以及所有边界点组成，即 \(Cl(A) = A \cup \partial A\)。
3. 集合 \(A\) 的边界（\(\partial A\)）
   边界是那些既"贴近 \(A\)"又"贴近其外部"的点。形式上，它等于 \(A\) 的闭包与其补集闭包的交集： \(\partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A)\)。

设 \(A\) 是拓扑空间 \(X\) 中的一个子集。根据定义可以得到：

$$ Cl(A) = Int(A) \cup \partial A $$

同时，内部与边界之间没有公共点：

$$ Int(A) \cap \partial A = \emptyset $$

因此，闭包可以分解为两个互不相交的部分：内部和边界，从而得到：

$$ Cl(A) = Int(A) \cup \partial A $$

证明完成。