特定点拓扑

特定点拓扑（Particular Point Topology）是拓扑学中一种具有代表性的例子。它的构造方法十分简单：在集合 X 中选定一个特定点 p，然后把所有包含该点 p 的子集，以及空集一起，组成一个集合族。这一集合族就构成了 X 上的一个拓扑结构。

换句话说，在这种拓扑中，只要一个子集包含点 p，它就是开集；如果不包含 p，就不是开集。由此得到的拓扑也被称为"固定点拓扑"。

说明：作为一个拓扑结构，它必须满足拓扑空间的基本公理 - - 既要包含空集与全集，又要在任意并运算和有限交运算下保持封闭。

示例

设集合 X={a,b,c}，并指定 "a" 为特定点。为了在 X 上构造特定点拓扑，我们需要包括空集 ∅、全集 X，以及所有包含 "a" 的子集。

• 空集：∅
• 全集：X={a,b,c}
• 包含 "a" 的子集：{a}，{a,b}，{a,c}

因此，以 "a" 为特定点的拓扑可以表示为：

$$ T=\{ ∅, \{ a \}, \{ a,b \}, \{ a,c \}, \{a,b,c \} \} $$

这个集合族满足拓扑的要求，因为它既包含空集和全集，又在并与交运算下封闭。

• 除空集外，T 中的每个集合都包含特定点 "a"。因此，这些集合的任意并集依然包含 "a"，从而仍属于 T。
• 同样地，T 中除空集外的集合在进行有限交运算时，结果至少包含 "a"，因此也属于 T。

这种拓扑虽然简单，却能帮助我们更直观地理解拓扑空间的定义与公理体系，是学习拓扑学时常用的入门示例之一。