上限拓扑

在上限拓扑（upper limit topology）中，我们把所有形如 (a, b] 的右半开区间（a < b）的并集视为开集。

换句话说，在这种拓扑中，一个区间如果要算作开集，必须包含它的上端点，而不包含下端点。这一点与我们平常理解的"开区间"不同，是上限拓扑最有特点的地方。

形式上，这个拓扑的基定义如下：

$$ B = \{ (a,b] \subset R \ | \ a \lt b \} $$

也就是说，每个基元素都包含上端点，而排除下端点。

注释：上限拓扑与下限拓扑（lower limit topology）是一对对偶概念。在下限拓扑中，开集由 [a,b) 形式的左闭右开区间生成，也就是包含下端点但不包含上端点。两者的对比清楚地说明，拓扑的不同定义会直接影响"开集"的含义和拓扑空间的性质。

上限拓扑在拓扑学中是一个非常有启发性的例子。它展示了，只要稍微改变开集的定义方式，整个空间的性质就可能发生变化。这种差异让我们更深入地理解拓扑结构的灵活性和抽象性。

一个直观的例子

来看一个具体情况：在实数集 R 上，如果我们规定所有右半开区间都是开集，就得到了上限拓扑。

例如，(1,3]、(2,6]、(-3,5] 等都属于这种拓扑下的开集。

所有这类右半开区间的集合构成了上限拓扑的基。

在每个区间中，上端点被包含在开集中，而下端点被排除在外。

按照同样的方式，可以构造出无数类似的开集，从而形成整个上限拓扑空间。