拓扑学举例
在学习拓扑学时，一个常见的问题是：给定一个集合，可以在它上面定义出多少种不同的拓扑结构？下面通过具体例子来分析。
$$ X = \{ a,b \} $$
我们的目标是找出所有满足拓扑定义的开集族。
拓扑的定义。在集合 X 上，一个 拓扑 是由 X 的若干子集组成的集合 T。它必须包含空集 ∅ 和全集 X，并且对任意并运算封闭，对有限交运算也封闭。
对于集合 X={a,b}，其幂集为：
$$ P(X) = \{ ∅, \{ a \}, \{ b \}, X \} $$
其中 X 即为 {a,b}。
由定义可知，任何定义在 X 上的拓扑 T，至少要包含空集 ∅ 和全集 X（即 X={a,b}）。
下面列出所有满足拓扑条件的子集族：
- 平凡拓扑（又称最小拓扑）：只包含空集和全集。$$ T_1=\{ ∅, \{a,b \} \} $$
- 在平凡拓扑基础上加入子集 {a}：$$ T_2=\{ ∅, \{ a \} , \{a,b \} \} $$
- 在平凡拓扑基础上加入子集 {b}：$$ T_3=\{ ∅, \{ b \} , \{a,b \} \} $$
- 离散拓扑（又称最大拓扑）：包含 X 的所有子集。$$ T_4=\{ ∅, \{ a \} , \{ b \} , \{a,b \} \} $$
以上就是集合 X 上所有可能的拓扑。
平凡拓扑最为简单，只把空集和全集视为开集；离散拓扑最为精细，因为它将 X 的每个子集都视为开集。
综上，集合 X 上一共有四种不同的拓扑结构。
示例二：三元素集合的情况
接下来我们考虑一个稍微复杂一点的例子：
$$ X = \{ a,b,c \} $$
判断下列子集族是否构成 X 上的一个拓扑：
$$ T_3=\{ ∅, \{ a \} , \{ b \} , \{b,c \}, \{a,b,c \} \} $$
首先检查它是否包含空集 ∅ 和全集 X={a,b,c}。两者都在其中，因此通过第一步。
接着看它是否对并运算封闭。集合 T 不是封闭的，因为 {a} ∪ {b} = {a,b}，而 {a,b} 不属于 T。
$$ \{ a \} \cup \{ b \} = \{a , b\} \ ∉ T $$
由此可见，T 并不是一个拓扑，因为它不满足对并运算的封闭性。
既然这一条件不成立，就没有必要再检验它是否对交运算封闭。
通过这样的分析，可以更直观地理解拓扑的逻辑结构，以及判断一个子集族是否构成拓扑的基本方法。
