闭集

在拓扑空间 X 中，如果对于补集 X-B 中的任意一点 u，都能找到一个邻域完全落在补集 X-B 内，那么集合 B 被称为闭集。

 

直观地理解，一个集合如果把自己的所有"边界点"都包含在内，那么它就是闭集。

形式化地说，在拓扑空间 X 中，如果集合 B 的补集 X-B 是开集，那么 B 是闭集。

注意：这意味着在闭集 B 中至少存在一些点，它们无法拥有完全包含在 B 内部的邻域。

一个基本例子

先来看实数集 R 与其中的一个闭区间。

什么是闭区间？在实数轴上，闭区间指所有满足 a≤x≤b 的点，其中 a 和 b 为实数且 a

闭区间记作 [a,b]，方括号表示端点属于该集合。

例如闭区间 [3,10] 是实数轴 R 上的一个闭集。

在这个例子中，集合 B 包含从 3 到 10 之间的所有实数，包括端点 3 和 10。

 

闭区间中的所有点都满足 3≤x≤10，端点自然也包含在内。

然而，在区间 [3,10] 中，并不是每个点都有一个邻域可以完全包含在区间内部。

例如端点 x=3 的任何邻域，都会有部分落在区间外。

注意：即使取极小邻域，例如 3±0.00000001，它也无法完全落在闭区间 [3,10] 内，因为 3-0.00000001 已经小于 3。端点 x=10 的情况同样如此。

这就是一维空间中最典型的闭集例子。

更多闭集示例

类似的思想可以推广到二维平面。

考虑以原点 (0,0) 为中心、半径 r=1 的圆及其内部所有点构成的集合：

$$ x^2+y^2\le 1 $$

该不等式表示所有到圆心距离不超过 1 的点，也就是说既包括圆内点，也包括圆周上的边界点。

这是一个典型的平面闭集。

可以看到，圆周上的点同样无法拥有完全落在集合内部的邻域。

注意：在拓扑学中，仅包含圆周的集合 $x^2+y^2=1$ 在欧氏空间 R² 中既不是开集也不是闭集，因为它只包含边界点而不包含内部点。而由 $x^2+y^2\le 1$ 定义的集合则是闭集，因为它包含所有边界点。

同样的结论还可以推广到三维空间中的球面及其内部，乃至更高维空间中的 n 维球体。

闭集的补集

在空间 X 中，闭集 C 的补集 X-C 是开集。

如果集合 C 在 X 中是闭集，那么它的补集 X-C 必然是开集。

反过来，如果 U 是开集，那么 X-C 就是闭集。

当然，还有其他情况。在拓扑空间中，可能出现既是开集又是闭集的集合，也可能出现既不是开集也不是闭集的集合。

因此，一个集合不是闭集，并不意味着它一定是开集；不是开集，也不代表它一定是闭集。

示例

考虑集合 X={a,b,c,d} 上的一个拓扑 T。

在拓扑 T 中，被定义为开集的集合包括：{b}、{a,b}、{c,d}、{b,c,d}、{a,b,c,d}、∅。

我们逐一分析如下：

• {b} 是开集，因为拓扑 T 直接将其定义为开集。
  
• {a} 是闭集，因为它是开集 X-{b,c,d} 的补集，其中 X={a,b,c,d}。
  
• {a,b} 既是开集又是闭集，这类集合称为"闭开集"。这种情况在实数拓扑中较少见，但在一般拓扑中完全可能，因为某些集合与其补集都属于开集。这里 {a,b} 是开集，同时作为开集 X-{c,d} 的补集，它也是闭集。
  
  
• {b,c} 既不是开集也不是闭集，它既不满足开集定义，也不是任何开集的补集。
  

这个例子说明，在拓扑空间中，一个集合可能是开集、闭集、既是开又是闭，或者两者皆非。

闭集的性质

示例：

例如，在欧氏空间 Rⁿ 的标准拓扑中，每一个单点集合都是闭集。

在实直线 R¹ 上，如果只考虑某个点 n，那么它的补集由所有不等于 n 的点构成。

因此，单点集 {n} 的补集可以表示为两个开区间的并：(-∞, n) ∪ (n, +∞)。

由于区间 (-∞, n) 与 (n, +∞) 在标准拓扑中都是开集，它们的并集 (-∞, n) ∪ (n, +∞) 也仍然是开集。

既然 {n} 的补集是开集，我们自然可以推出 {n} 是闭集。

脚注

以下为一些补充说明与相关概念：

• 闭集与极限点
  一个集合的极限点指的是：无论取多小的邻域，该邻域中总包含集合中除自身以外的至少一个点。闭集的特征在于它包含自己的全部极限点，而开集则可能遗漏这些点。

  示例：以实轴上的闭区间 [0,1] 为例。该区间包含所有极限点。例如点 0.5 的任意邻域中，总能找到来自区间 [0,1] 的其他点，因此 0.5 是极限点。
  
  同样，端点也是极限点。例如端点 0 的任意邻域中，总包含像 0.1、0.01、0.001 等落在区间内部的点。
  
  因此闭区间 [0,1] 内每个点的邻域中都包含其他属于该区间的点。

• 当且仅当 A = Cl(A) 时，集合 A 为闭集
  在拓扑空间中，如果集合 \(A\) 等于它的闭包 \( \text{Cl}(A) \)，即 \( A = \text{Cl}(A) \)，那么 A 是闭集。闭包 \( \text{Cl}(A) \) 由集合自身以及它的全部极限点组成。因此若集合包含它所有的极限点，它就是闭集。

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