拓扑空间中的聚点

在拓扑空间 $X$ 中，设 $A \subseteq X$。如果点 $x$ 的每一个邻域中都包含集合 $A$ 中不同于 $x$ 的点，那么称 $x$ 为集合 $A$ 的聚点。

简单来说，无论把 $x$ 附近的范围取得多么小，总能在其中找到属于 $A$ 的其他点。

换一种更形式化的说法，如果点 $x$ 的任意邻域 $U$ 与集合 $A$ 的交集始终非空，那么 $x$ 就是 $A$ 的聚点。

$$ U \cap A \not = \emptyset $$

需要特别注意的是，聚点不一定属于集合 $A$ 本身，它也可能位于集合之外。

在实数空间 $\mathbb{R}$ 中，聚点的概念通常比较直观。设点 $x$ 位于数轴上，如果任意开区间 $(x-\epsilon, x+\epsilon)$ 中都能找到集合 $A$ 中除 $x$ 本身之外的点，那么 $x$ 就是集合 $A$ 的聚点。
数轴上的聚点示意图
拓扑学中的聚点定义可以推广到更高维的空间 $\mathbb{R}^n$。在一般情况下，只要点 $x$ 的每一个邻域都与集合 $A$ 在 $x$ 之外的点相交，就可以认为 $x$ 是 $A$ 的聚点。不过，相比一维实数空间，高维空间中的聚点往往不再那么容易直接想象。

实例
说明与备注

实例

设集合 $A$ 是带有通常拓扑的实数空间 $\mathbb{R}$ 的一个子集：

$$ A = \left\{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^+ \right\} $$

也就是说：

$$ A = \left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\} $$

现在判断点 $0$ 是否是集合 $A$ 的聚点。

任取 $0$ 的一个开邻域 $U$。

由于 $\mathbb{R}$ 采用通常拓扑，因此这个邻域一定包含某个开区间 $(a,b)$，其中满足：

$$ a < 0 < b $$

另一方面，当 $n \to \infty$ 时，数列 $\frac{1}{n}$ 会越来越接近 $0$。因此，只要 $n$ 足够大，总能找到某个点 $\frac{1}{n}$ 落在区间 $(a,b)$ 中。

这意味着，$0$ 的每一个邻域都会与集合 $A$ 相交，而且交点不只是 $0$ 本身。

因此，根据定义，$0$ 是集合 $A$ 的聚点。

聚点示例

例2

再来看另一个集合：

$$ B = \left\{ n + \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^+ \right\} $$

该集合中的元素包括：

$$ \left\{2,2.5,3.333\ldots,\ldots\right\} $$

现在考察点 $1$。

点 $1$ 的任意开邻域都包含某个开区间 $(a,b)$，满足：

$$ a < 1 < b $$

但是，集合 $B$ 中的所有元素都严格大于 $1$。

因此，并不是每个包含 $1$ 的开区间都会与集合 $B$ 相交。

换句话说，我们可以找到一些足够小的邻域，使其中完全不包含 $B$ 的元素。

所以，$1$ 不是集合 $B$ 的聚点。

例3

考虑带有通常拓扑的实数空间 $\mathbb{R}$ 中的集合：

$$ (0,1] $$

下面求这个集合的全部聚点。

根据定义，如果点 $x$ 的每一个邻域都与 $(0,1]$ 中除 $x$ 本身之外的点相交，那么 $x$ 就是该集合的聚点。

区间 (0,1] 内部的点
对任意 $x \in (0,1]$，其邻域都可以表示为某个开区间 $(a,b)$，其中 $a < x < b$。
由于区间内部总存在无限多个不同于 $x$ 的点，因此任意邻域都会与 $(0,1]$ 再次相交。
所以，所有 $x \in (0,1]$ 都是该集合的聚点。
区间 (0,1] 的边界点
下面分别讨论点 $0$ 与点 $1$。

- 点 $0$：
虽然 $0$ 不属于区间 $(0,1]$，但它的任意邻域中都包含大量足够小的正实数，而这些点都属于 $(0,1]$。
因此，$0$ 是 $(0,1]$ 的聚点。

- 点 $1$：
点 $1$ 的任意邻域中都包含许多略小于 $1$ 的实数，而这些点同样属于 $(0,1]$。
因此，$1$ 也是 $(0,1]$ 的聚点。
区间 [0,1] 外部的点
最后考虑满足 $x \notin [0,1]$ 的点。
如果 $x < 0$ 或 $x > 1$，总可以找到一个邻域，使它与 $(0,1]$ 完全没有交集。
例如，当 $x < 0$ 时，可以取足够小的 $\epsilon$，使区间 $(x-\epsilon,x+\epsilon)$ 完全落在负半轴上，因此不会与 $(0,1]$ 相交。同理，当 $x > 1$ 时，也能构造出与 $(0,1]$ 不相交的邻域。因此，所有位于 $[0,1]$ 外部的点都不是 $(0,1]$ 的聚点。

综上，在带有通常拓扑的实数空间 $\mathbb{R}$ 中，集合 $(0,1]$ 的全部聚点恰好构成闭区间：

$$ [0,1] $$

例4

现在考虑实数空间 $\mathbb{R}$ 上的下限拓扑，并求集合：

$$ A=(0,1] $$

的聚点集。

实数空间 $\mathbb{R}$ 上的下限拓扑由所有形如 $[a,b)$ 的区间生成，其中 $a < b$。因此，该拓扑中的开集都是这些区间的任意并。

在这种拓扑下，点 $x$ 的基本邻域通常写成：

$$ [x,x+\epsilon) $$

下面分别讨论不同类型的点。

点 x ∈ (0,1)
对任意 $x \in (0,1)$，邻域 $[x,x+\epsilon)$ 中总包含集合 $A$ 的其他点，因此 $x$ 是 $A$ 的聚点。
点 x = 1
点 $1$ 的任意邻域都会与集合 $A$ 相交，因此 $1$ 也是 $A$ 的聚点。
点 x = 0
任意邻域 $[0,0+\epsilon)$ 都包含属于 $A$ 的正实数，因此 $0$ 同样是 $A$ 的聚点。
点 x < 0 或 x > 1
对于这些点，可以找到与集合 $A$ 完全不相交的邻域，因此它们都不是 $A$ 的聚点。

因此，在下限拓扑下，集合 $A=(0,1]$ 的聚点集仍然是：

$$ [0,1] $$

说明与备注

集合的闭包等于集合与其聚点集的并集
在拓扑空间 $X$ 中，子集 $A$ 的闭包满足： $$ \text{Cl}(A)=A\cup A' $$ 其中 $A'$ 表示集合 $A$ 的聚点集。
也就是说，闭包不仅包含集合本身的点，还包含所有可以"无限逼近"该集合的点。
点列可以收敛到聚点
如果 $A \subseteq \mathbb{R}$，并且点 $x$ 是 $A$ 的聚点，那么通常可以构造一个由 $A$ 中点组成的数列，使其收敛到 $x$。
此外，聚点本身不一定属于集合 $A$。
极限的唯一性
在通常拓扑中，一个收敛数列的极限是唯一的。
不过，在其他类型的拓扑空间中，这种唯一性未必成立，因此结果与具体采用的拓扑结构有关。

等等。