Topologi Kuosien (Quotient Topology)

Misalkan $X$ adalah suatu ruang topologi dan $A$ adalah sebuah himpunan yang tidak harus merupakan subset dari $X$. Misalkan $p: X \rightarrow A$ adalah pemetaan surjektif. Suatu subset $U \subseteq A$ dikatakan terbuka di $A$ jika dan hanya jika praimajenya $p^{-1}(U)$ merupakan himpunan terbuka di $X$.

Dengan kata lain, suatu himpunan $U$ di $A$ terbuka dalam topologi kuosien jika dan hanya jika praimajenya di $X$ juga terbuka.

topologi kuosien

Definisi ini memungkinkan kita membangun topologi baru pada $A$ berdasarkan topologi yang sudah ada pada $X$ melalui pemetaan $p$.

Dalam konteks ini, $A$ disebut ruang kuosien, sedangkan $p$ disebut pemetaan kuosien.

Topologi pada $A$ sering disebut sebagai topologi kuosien yang diinduksi oleh $p$.

Intinya, keterbukaan suatu himpunan di ruang baru ditentukan oleh keterbukaan praimajenya di ruang asal.

Perlu diperhatikan dua hal penting:

Praimaj dari himpunan terbuka di ruang kuosien selalu terbuka di ruang asal.
Sebaliknya, citra dari himpunan terbuka di ruang asal tidak selalu terbuka di ruang kuosien.

Secara umum, ruang kuosien adalah ruang topologi yang diperoleh dengan mengidentifikasi titik-titik tertentu dalam suatu ruang sesuai dengan suatu relasi ekuivalensi.

Dengan kata lain, kita menyatukan beberapa titik menjadi satu, lalu mempelajari struktur topologi yang dihasilkan.

Mengapa konsep ini penting? Topologi kuosien memungkinkan kita memahami ruang yang lebih kompleks dengan memanfaatkan informasi dari ruang yang lebih sederhana.

Penjelasan intuitif
Contoh praktis
Sifat-sifat penting

Penjelasan intuitif

Konsep ini menjadi lebih jelas jika dilihat secara visual.

Bayangkan sebuah kertas berbentuk persegi. Jika dua sisi yang berhadapan direkatkan, kita memperoleh sebuah silinder.

melipat kertas menjadi satu

Jika kemudian kedua tepi lingkaran pada silinder disatukan, kita mendapatkan sebuah torus, yaitu bentuk seperti donat.

contoh torus

Dalam proses ini, kita tidak menambah titik baru. Kita hanya menyatukan titik-titik tertentu.

Inilah ide dasar topologi kuosien: membentuk ruang baru dengan mengidentifikasi bagian-bagian dari ruang awal.

Contoh praktis

Ambil ruang topologi $ X = [0, 1] $ dengan topologi biasa, yaitu himpunan terbuka berupa interval terbuka atau gabungannya.

Dalam ruang ini:

$ X $ dan $ \emptyset $ adalah himpunan terbuka.
Setiap interval terbuka $ (a,b) $ dengan $ 0 \leq a < b \leq 1 $ juga terbuka.

Ruang ini dapat dibayangkan sebagai segmen garis dari 0 ke 1.

contoh segmen [0,1]

Sekarang kita buat ruang baru dengan mengidentifikasi titik 0 dan 1, yaitu menganggap keduanya sebagai satu titik yang sama.

Pemetaan yang digunakan adalah:

$$ p(x) = \begin{cases} p(0) & \text{jika } x = 0 \text{ atau } x = 1 \\ \\ x & \text{jika } 0 < x < 1 \end{cases} $$

Hasilnya adalah ruang $ A $ yang dapat divisualisasikan sebagai sebuah lingkaran.

topologi kuosien

Secara intuitif, kita "membengkokkan" segmen garis hingga kedua ujungnya bertemu.

Dalam ruang ini, titik $ P = \{0,1\} $ adalah hasil identifikasi dari kedua ujung interval.

Untuk menentukan himpunan terbuka di $ A $, kita gunakan definisi topologi kuosien.

Suatu himpunan $ U \subseteq A $ terbuka jika praimajenya $ p^{-1}(U) $ terbuka di $ [0,1] $.

Dua kasus penting:

Jika $ U $ tidak memuat $ P $
Maka praimajenya adalah interval terbuka biasa di $ X $, sehingga $ U $ terbuka.
Jika $ U $ memuat $ P $
Maka praimajenya adalah gabungan dua interval di ujung-ujung segmen, yang tetap terbuka di $ X $.

Dengan cara ini, dari segmen sedtrerhana $[0,1]$ kita memperoleh ruang baru berbentuk lingkaran.

Contoh ini menunjukkan dengan jelas bagaimana topologi kuosien digunakan untuk membangun ruang yang lebih kompleks dari struktur yang sederhana.

Contoh 2

Pada contoh ini, kita akan melihat bagaimana garis bilangan real dapat "dibungkus" menjadi sebuah lingkaran.

Pertimbangkan himpunan bilangan real $ \mathbb{R} $, yang memanjang tak hingga ke kedua arah.

Kita ingin memetakan garis ini ke sebuah lingkaran dengan cara mengidentifikasi setiap bilangan real melalui bagian pecahannya.

Pemetaan yang digunakan adalah $ p(x) = x \mod 1 $.

Artinya, untuk setiap bilangan real $ x $, kita hanya mengambil bagian desimalnya, lalu menggunakannya untuk menentukan posisi titik pada lingkaran.

Sebagai contoh, jika $ x = 1.3 $, maka bagian desimalnya adalah 0.3, sehingga dipetakan ke suatu titik pada lingkaran. Jika $ x = 2.7 $, bagian desimalnya adalah 0.7, sehingga titik tersebut berkorespondensi dengan titik yang direpresentasikan oleh $ 0.7 $.
contoh

Setiap kali $ x $ bertambah sebesar satu bilangan bulat, titiknya kembali ke posisi yang sama pada lingkaran.

Dengan cara ini, garis real seolah-olah dililitkan mengelilingi lingkaran, sehingga titik 0 dan 1 saling berimpit.

Sekarang kita lihat bagaimana beberapa interval berperilaku di bawah pemetaan ini.

Interval (0,1) pada $ \mathbb{R} $
Interval $ (0, 1) $ dipetakan menjadi sebuah busur pada lingkaran, tanpa mencakup titik 0. Interval ini terbuka di ruang kuosien karena praimajenya, yaitu $ (0,1) $, merupakan himpunan terbuka di $ \mathbb{R} $.
Interval (1,2) pada $ \mathbb{R} $
Interval $ (1, 2) $ menghasilkan busur yang sama, karena 1 dan 2 diidentifikasi dengan 0. Dengan demikian, interval ini kembali dipetakan ke $ (0,1) $ pada lingkaran dan tidak menambah informasi baru.
Interval (0,2) pada $ \mathbb{R} $
Interval $ (0, 2) $ mencakup satu putaran penuh pada lingkaran. Akibatnya, citranya adalah seluruh lingkaran, yang dalam konteks ini bersifat terbuka dan tertutup sekaligus (clopen).

Catatan: Contoh ini memperlihatkan bahwa himpunan terbuka di ruang asal tidak selalu dipetakan menjadi himpunan terbuka di ruang kuosien.

Secara umum, jika kita mengambil himpunan terbuka pada lingkaran, praimajenya di $ \mathbb{R} $ akan selalu terbuka.

Namun, arah sebaliknya tidak selalu berlaku: himpunan terbuka di ruang asal belum tentu memiliki citra yang terbuka di ruang kuosien.

Gagasan utama

Pemetaan kuosien dapat "menggabungkan" atau "memadatkan" bagian-bagian ruang, sehingga sifat topologi suatu himpunan bisa berubah setelah dipetakan.

Contoh 3

Pada contoh ini, kita membangun topologi kuosien dengan mengidentifikasi elemen pertama dan terakhir dari suatu barisan bilangan bulat berurutan.

Pertimbangkan himpunan berikut:

$$ I_7 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} $$

Ini adalah interval diskret, yaitu himpunan bilangan bulat yang berurutan.

Kita kemudian menyatukan titik 1 dan 7. Secara intuitif, ini sama seperti mengambil segmen garis lalu menyambungkan kedua ujungnya hingga membentuk lingkaran.

contoh lingkaran digital

Hasilnya adalah sebuah lingkaran digital $ C_6 $, yang terdiri dari 6 titik.

Setiap titik terhubung dengan dua titik tetangganya.

Ini adalah contoh topologi kuosien karena kita membentuk ruang baru melalui proses identifikasi titik-titik dalam ruang asal.

Catatan: Hasil ini mirip dengan lingkaran yang diperoleh dari interval real, tetapi dalam kasus ini ruangnya bersifat diskret dan hingga.

Lingkaran digital ini juga termasuk dalam kajian topologi digital, di mana hubungan ketetanggaan menjadi aspek utama.

Dengan demikian, konsep seperti keterhubungan dan himpunan terbuka digital dapat diterapkan.

Catatan: Dalam topologi digital, suatu himpunan $ U $ dianggap terbuka jika setiap titik $ x \in U $ menyertakan titik-titik tetangganya, sesuai dengan jenis konektivitas yang digunakan, misalnya konektivitas 2 pada lingkaran, 4 atau 8 pada bidang, serta 6 atau 18 dalam ruang tiga dimensi.

Penting untuk dicatat bahwa topologi kuosien dan topologi digital adalah dua konsep yang berbeda.

Lingkaran digital dapat dipandang sebagai hasil topologi kuosien, tetapi juga dipelajari dalam kerangka topologi digital. Kedua pendekatan ini tidak boleh disamakan.

Contoh 4

Pada contoh ini, kita akan melihat bagaimana topologi kuosien dapat menyederhanakan struktur garis real menjadi ruang yang sangat kecil, hanya terdiri dari tiga titik.

Pertimbangkan himpunan bilangan real $ \mathbb{R} $ dengan topologi standar, serta pemetaan kuosien $ p: \mathbb{R} \to \{a, b, c\} $ yang didefinisikan sebagai berikut:

$$ p(x) = \begin{cases} a \ \text{jika } x < 0 \\ \\ b \ \text{jika } x = 0 \\ \\ c \ \text{jika } x > 0 \\ \end{cases} $$

Artinya, semua bilangan negatif digabung menjadi satu titik $ a $, titik nol menjadi $ b $, dan semua bilangan positif menjadi $ c $.

Untuk memahami topologi pada himpunan $ \{a, b, c\} $, kita perlu melihat praimaj dari masing-masing titik.

Praimajnya adalah:

$ p^{-1}(a) = (-\infty, 0) $, terbuka di $ \mathbb{R} $,
$ p^{-1}(b) = \{0\} $, tidak terbuka di $ \mathbb{R} $,
$ p^{-1}(c) = (0, \infty) $, terbuka di $ \mathbb{R} $.

Dalam topologi kuosien, suatu himpunan dianggap terbuka jika praimajnya terbuka di ruang asal.

Dari sini, kita langsung mendapatkan beberapa himpunan terbuka:

$ \{a\} $ terbuka, karena praimajnya terbuka.
$ \{c\} $ terbuka, karena praimajnya terbuka.
$ \{a, c\} $ terbuka, karena praimajnya adalah $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $, yang juga terbuka.

Selain itu, dua himpunan yang selalu terbuka dalam setiap topologi juga muncul di sini:

Himpunan kosong $ \emptyset $.
Seluruh ruang $ \{a,b,c\} $.

Sebaliknya, himpunan $ \{b\} $ tidak terbuka karena praimajnya $ \{0\} $ bukan himpunan terbuka di $ \mathbb{R} $.

Jadi, himpunan terbuka dalam topologi kuosien ini adalah:

$ \emptyset $, $ \{a,b,c\} $, $ \{a\} $, $ \{c\} $, dan $ \{a,c\} $.

Contoh ini menunjukkan satu hal penting: tidak semua titik memiliki perilaku yang sama. Titik $ b $ bersifat "khusus" karena tidak bisa berdiri sendiri sebagai himpunan terbuka.

Sifat-sifat penting

Dari contoh ini, kita bisa merangkum beberapa sifat dasar topologi kuosien.

Himpunan kosong dan seluruh ruang selalu terbuka
Ini berlaku di semua ruang topologi, termasuk topologi kuosien.
Gabungan himpunan terbuka tetap terbuka
Jika kita menggabungkan beberapa himpunan terbuka di ruang kuosien, hasilnya tetap terbuka karena praimajnya di ruang asal juga merupakan gabungan himpunan terbuka.
Irisan hingga himpunan terbuka tetap terbuka
Jika kita mengambil irisan hingga dari himpunan-himpunan terbuka, hasilnya tetap terbuka karena sifat ini sudah berlaku di ruang asal.

Melalui contoh sederhana ini, terlihat jelas bagaimana topologi kuosien membentuk struktur baru dengan "menggabungkan" bagian-bagian dari ruang asal, dan bagaimana sifat keterbukaan ditentukan sepenuhnya oleh praimajnya.