Sifat Irisan Berhingga Himpunan Terbuka dalam Topologi Hasil Bagi

Dalam topologi hasil bagi, terdapat sifat penting yang memudahkan kita memahami struktur himpunan terbuka. Jika kita memiliki beberapa himpunan terbuka $ U_i $, maka pra-citra dari irisan berhingga himpunan-himpunan tersebut sama dengan irisan dari pra-citra masing-masing himpunan. Secara matematis ditulis sebagai $$ p^{-1}( \bigcap U_i ) = \bigcap p^{-1}(U_i) $$ Karena setiap pra-citra ini merupakan himpunan terbuka dalam topologi asal di X, maka irisan berhingga dari himpunan terbuka tetap merupakan himpunan terbuka dalam topologi hasil bagi.

Contoh Praktis

Untuk melihat bagaimana konsep ini bekerja, kita gunakan contoh klasik dalam topologi, yaitu ruang hasil bagi \( A = \mathbb{R}/\mathbb{Z} \). Ruang ini dapat dibayangkan sebagai sebuah lingkaran.

Ruang asalnya adalah himpunan bilangan real $ \mathbb{R} $, dan pemetaan hasil bagi \( p: \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z} \) memetakan setiap bilangan real ke bagian pecahannya. Dengan kata lain, bilangan yang berbeda satu bilangan bulat akan dipandang sebagai titik yang sama.

Ruang hasil bagi ini biasanya direpresentasikan oleh interval [0,1).

Sebagai contoh, bilangan 0.3, 1.3, dan 2.3 semuanya dipetakan ke titik yang sama, yaitu 0.3 pada lingkaran.

Sekarang kita ambil dua himpunan terbuka pada lingkaran \( A \):

$$ U_1 = (0.1, 0.5) $$

$$ U_2 = (0.3, 0.7) $$

Kedua interval ini merupakan himpunan terbuka dalam topologi hasil bagi \( \mathbb{R}/\mathbb{Z} \).

Jika kita cari irisannya, kita memperoleh:

$$ U_1 \cap U_2 = (0.3, 0.5) $$

Irisan ini masih berupa interval terbuka, sehingga tetap merupakan himpunan terbuka pada lingkaran.

Untuk memahami mengapa hal ini terjadi, kita lihat apa yang terjadi di ruang asal \( \mathbb{R} \).

Pra-citra dari \( U_1 \) melalui pemetaan \( p \) adalah gabungan tak hingga interval terbuka yang berulang secara periodik:

$$ p^{-1}(U_1) = (0.1, 0.5) \cup (1.1, 1.5) \cup (2.1, 2.5) \cup \dots $$

Demikian pula, pra-citra dari \( U_2 \) adalah:

$$ p^{-1}(U_2) = (0.3, 0.7) \cup (1.3, 1.7) \cup (2.3, 2.7) \cup \dots $$

Jika kita ambil irisan dari kedua pra-citra ini, kita mendapatkan:

$$ p^{-1}(U_1 \cap U_2) = (0.3, 0.5) \cup (1.3, 1.5) \cup (2.3, 2.5) \cup \dots $$

Hasil ini tetap berupa gabungan interval-interval terbuka dalam topologi standar \( \mathbb{R} \), sehingga merupakan himpunan terbuka di \( \mathbb{R} \).

Karena pra-citra dari irisan adalah himpunan terbuka di ruang asal, maka irisannya sendiri juga terbuka dalam topologi hasil bagi.

Kesimpulannya, irisan berhingga dari himpunan terbuka dalam topologi hasil bagi tetap merupakan himpunan terbuka. Ini adalah sifat dasar yang konsisten dengan definisi umum himpunan terbuka dalam topologi.

Dan seterusnya.