Topologi Titik Khusus
Topologi titik khusus pada himpunan X dengan titik tertentu p adalah topologi yang terdiri atas semua subset X yang kosong atau yang memuat titik p.
Artinya, topologi ini selalu mencakup himpunan kosong, himpunan semesta X, dan setiap subset yang mengandung p. Karena sifatnya yang terikat pada satu titik acuan, topologi ini sering disebut juga "fixed point topology".
Note. Sebagai sebuah topologi, struktur ini wajib memenuhi semua aksioma topologi. Ini mencakup keberadaan himpunan kosong dan himpunan semesta, serta sifat tertutup terhadap operasi gabungan dan irisan.
Example
Pertimbangkan X={a,b,c} dengan titik khusus "a". Untuk membentuk topologi titik khusus pada himpunan ini, kita harus memasukkan himpunan kosong ∅, himpunan semesta X, dan seluruh subset yang memuat elemen "a".
- Himpunan kosong: ∅
- Himpunan semesta: X={a,b,c}
- Seluruh subset X yang memuat "a": {a}, {a,b}, {a,c}
Dengan demikian, topologi titik khusus untuk "a" pada X dapat dituliskan sebagai:
$$ T=\{ ∅, \{ a \}, \{ a,b \}, \{ a,c \}, \{a,b,c \} \} $$
Koleksi subset tersebut memenuhi aksioma topologi karena mengandung himpunan kosong, himpunan semesta, dan tertutup terhadap operasi gabungan maupun irisan.
- Setiap himpunan dalam T, kecuali yang kosong, memuat "a". Akibatnya, gabungan himpunan-himpunan tersebut akan selalu memuat "a" dan tetap berada dalam T.
- Hal yang sama berlaku untuk operasi irisan. Selama tidak melibatkan ∅, irisan hingga dari himpunan-himpunan di T akan tetap memuat elemen "a".
Struktur ini menjadi contoh yang sederhana namun efektif untuk memahami bagaimana sebuah topologi dapat dibangun dari satu titik acuan pada suatu himpunan.
