Titik Akumulasi dalam Topologi

Dalam sebuah ruang topologi $X$, sebuah titik $x$ disebut titik akumulasi dari himpunan $A \subseteq X$ jika setiap lingkungan dari $x$ selalu beririsan dengan $A$ pada suatu titik selain $x$ itu sendiri.

Dengan kata lain, di dalam setiap lingkungan dari $x$ selalu terdapat titik dari $A$ yang berbeda dari $x$.

Secara formal, jika $U$ adalah lingkungan dari $x$, maka irisan antara $U$ dan $A$ tidak pernah kosong.

$$ U \cap A \not = \emptyset $$

Perlu diperhatikan bahwa sebuah titik akumulasi tidak harus merupakan anggota dari himpunan $A$.

Konsep ini relatif mudah dipahami dalam ruang bilangan real $\mathbb{R}$. Pada garis bilangan, sebuah titik $x$ adalah titik akumulasi dari himpunan $A$ jika setiap lingkungan dari $x$, yaitu interval $(x-\epsilon, x+\epsilon)$, selalu memuat titik dari $A$ selain $x$ sendiri.
contoh titik akumulasi pada garis bilangan
Dalam topologi, definisi ini berlaku lebih umum dan juga digunakan pada ruang berdimensi lebih tinggi seperti $\mathbb{R}^n$. Sebuah titik $x$ disebut titik akumulasi dari $A$ jika setiap lingkungannya selalu beririsan dengan $A$ pada suatu titik selain $x$. Pada ruang berdimensi lebih tinggi, konsep ini kadang terasa kurang intuitif dibandingkan pada garis bilangan.

Contoh Praktis
Catatan

Contoh Praktis

Misalkan $A$ adalah subset dari $\mathbb{R}$ dengan topologi standar.

$$ A = \left\{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^+ \right\} $$

Himpunan ini berisi titik-titik $ \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots $, yaitu $\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots \}$.

Untuk mengetahui apakah $0$ merupakan titik akumulasi dari $A$, kita perhatikan sembarang lingkungan terbuka $U$ dari $0$.

Lingkungan tersebut pasti memuat suatu interval terbuka $(a, b)$ dengan $a < 0 < b$.

Karena $\frac{1}{n}$ mendekati $0$ ketika $n$ menuju tak hingga, selalu ada nilai $n$ yang cukup besar sehingga $\frac{1}{n}$ berada di dalam interval $(a, b)$.

Akibatnya, setiap lingkungan dari $0$ selalu beririsan dengan $A$ pada suatu titik selain $0$.

Jadi, berdasarkan definisi, $0$ merupakan titik akumulasi dari himpunan $A$.

contoh titik akumulasi

Contoh 2

Sekarang pertimbangkan himpunan $B$ sebagai subset dari $\mathbb{R}$.

$$ B = \left\{ n + \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^+ \right\} $$

Himpunan ini memuat titik-titik $ 1 + 1, 2 + \frac{1}{2}, 3 + \frac{1}{3}, \ldots $, yaitu $\{2, 2.5, 3.333\ldots, \ldots \}$.

Perhatikan titik $1$.

Setiap lingkungan terbuka $U$ dari $1$ memuat interval terbuka $(a, b)$ dengan $a < 1 < b$.

Namun semua elemen dari $B$ lebih besar dari $1$. Suatu interval $(a, b)$ hanya akan memuat elemen dari $B$ jika $a < n + \frac{1}{n} < b$.

Karena tidak ada elemen $B$ yang lebih kecil dari $1$, kita dapat memilih lingkungan di sekitar $1$ yang tidak memuat titik dari $B$.

Dengan demikian, $1$ bukan titik akumulasi dari himpunan $B$.

Contoh 3

Sekarang perhatikan himpunan $(0, 1]$ sebagai subset dari $\mathbb{R}$.

Kita ingin menentukan semua titik akumulasi dari $(0, 1]$.

Sesuai definisi, sebuah titik $x$ merupakan titik akumulasi jika setiap lingkungannya beririsan dengan $(0, 1]$ pada suatu titik selain $x$.

Titik di dalam (0,1]
Untuk setiap $x \in (0, 1]$, setiap lingkungan dari $x$ berbentuk interval terbuka $(a, b)$ dengan $a < x < b$. Karena $x$ berada di dalam interval $(0, 1]$, interval tersebut selalu memuat titik lain dari $(0, 1]$. Oleh karena itu, setiap titik dalam $(0, 1]$ merupakan titik akumulasi.
Titik batas dari (0,1]
Titik $0$: Setiap lingkungan dari $0$ memuat interval $(a, b)$ dengan $a < 0 < b$. Walaupun $0$ tidak termasuk dalam $(0, 1]$, interval tersebut tetap memuat banyak titik dari $(0, 1]$, misalnya bilangan real positif yang sangat kecil. Jadi, $0$ adalah titik akumulasi dari $(0, 1]$.

Titik $1$: Setiap lingkungan dari $1$ memuat interval $(a, b)$ dengan $a < 1 < b$. Interval tersebut selalu memuat banyak titik dari $(0, 1]$, misalnya bilangan real yang sedikit lebih kecil dari $1$. Karena itu, $1$ juga merupakan titik akumulasi dari $(0, 1]$.
Titik di luar [0,1]
Jika $x < 0$ atau $x > 1$, kita dapat memilih suatu lingkungan dari $x$ yang sama sekali tidak beririsan dengan $(0, 1]$.
Misalnya jika $x < 0$, kita ambil interval $(x - \epsilon, x + \epsilon)$ dengan $\epsilon$ cukup kecil sehingga interval tersebut tidak menyentuh $(0, 1]$. Hal yang sama berlaku jika $x > 1$. Oleh karena itu, titik di luar $[0 , 1]$ bukan titik akumulasi dari $(0, 1]$.

Kesimpulannya, semua titik akumulasi dari himpunan $(0, 1]$ dalam ruang topologi $\mathbb{R}$ adalah seluruh titik dalam interval tertutup $[0, 1]$.

Contoh 4

Pada contoh ini kita akan menentukan himpunan titik akumulasi dari $ A = (0, 1] $ dalam topologi batas bawah pada $ \mathbb{R} $.

Topologi batas bawah pada $ \mathbb{R} $ dibangkitkan oleh suatu basis yang terdiri dari interval berbentuk $[a, b)$ dengan $ a < b $. Oleh karena itu, himpunan terbuka dalam topologi ini adalah gabungan sebarang dari interval-interval tersebut.

Ingat kembali definisinya. Sebuah titik $ x $ disebut titik akumulasi dari himpunan $ A $ jika setiap lingkungan dari $ x $ selalu memuat setidaknya satu titik dari $ A $ yang berbeda dari $ x $.

Sekarang kita periksa beberapa kemungkinan posisi titik dalam ruang tersebut.

Titik $x \in (0,1)$
Dalam topologi ini, suatu lingkungan dari $x$ dapat dipilih berbentuk $[x, x+\epsilon)$. Karena $x$ berada di dalam interval $(0,1)$, setiap lingkungan seperti ini selalu memuat titik lain dari $A$. Oleh karena itu, setiap titik $x \in (0,1)$ merupakan titik akumulasi dari $A$.
Titik $x = 1$
Dalam topologi batas bawah, setiap lingkungan dari $1$ berbentuk $[1, 1+\epsilon)$. Interval ini hanya memuat titik-titik yang lebih besar dari $1$. Karena $A = (0,1]$, lingkungan tersebut tidak memuat titik dari $A$ selain $1$ sendiri. Maka, $1$ bukan titik akumulasi dari $A$.
Titik $x = 0$
Setiap lingkungan dari $0$ berbentuk $[0, \epsilon)$ dengan $\epsilon > 0$. Interval ini memuat banyak titik dari $A$, misalnya nilai $\frac{1}{n}$ untuk $n$ cukup besar. Jadi, $0$ merupakan titik akumulasi dari $A$.
Titik $x < 0$ atau $x > 1$
Jika $x$ berada di luar interval tersebut, kita dapat memilih lingkungan $[x, x+\epsilon)$ yang sama sekali tidak beririsan dengan $A$. Dengan demikian, titik-titik tersebut bukan titik akumulasi dari $A$.

Kesimpulannya, himpunan titik akumulasi dari $ A = (0,1] $ dalam topologi batas bawah pada $ \mathbb{R} $ adalah interval $[0,1)$.

Catatan

Beberapa sifat penting mengenai titik akumulasi dalam topologi adalah sebagai berikut.

Penutupan suatu himpunan adalah gabungan antara himpunan tersebut dan titik-titik akumulasinya
Penutupan dari suatu subset $A$ dalam ruang topologi $X$ adalah gabungan antara $A$ dan himpunan $A'$ yang berisi semua titik akumulasi dari $A$: $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$ Dengan kata lain, $\text{Cl}(A)$ memuat semua titik dalam $A$ beserta semua titik akumulasinya.
Sebuah barisan dapat konvergen ke titik akumulasi
Jika $ A \subseteq X = \mathbb{R} $ dengan topologi standar dan $ x $ adalah titik akumulasi dari $ A $, maka terdapat suatu barisan titik $ x_i \in A $ yang konvergen ke $ x $. Perlu diingat bahwa titik limit tersebut tidak harus menjadi anggota dari himpunan $ A $.
Keunikan titik limit
Dalam topologi standar pada $ \mathbb{R} $, jika suatu barisan konvergen ke suatu titik $ x $, maka titik limit tersebut bersifat unik. Namun dalam ruang topologi yang lebih umum, sifat ini tidak selalu berlaku karena bergantung pada struktur topologi yang digunakan.

Dan seterusnya.