Topologi Titik yang Dikecualikan
Topologi titik yang dikecualikan adalah salah satu contoh topologi sederhana namun menarik. Dalam topologi ini, kita mulai dari sebuah himpunan X dan “mengecualikan” satu titik tertentu p dari himpunan tersebut.
Struktur ini membentuk kumpulan himpunan bagian dari X dengan aturan berikut:
- Himpunan kosong (Ø)
- Himpunan X itu sendiri
- Semua himpunan bagian dari X yang tidak memuat titik p
Dengan kata lain, setiap himpunan terbuka dalam topologi ini adalah himpunan bagian dari X yang boleh mencakup seluruh X atau himpunan kosong, tetapi tidak boleh berisi titik p.
Struktur semacam ini memenuhi tiga syarat utama untuk disebut sebagai topologi pada himpunan terbuka, sehingga secara formal valid dalam kerangka teori topologi.
Catatan. Ciri khas topologi ini terletak pada idenya yang sederhana - mengecualikan satu titik tunggal - namun implikasinya bisa sangat menarik. Banyak sifat topologis yang muncul di sini sering kali terasa tidak intuitif pada pandangan pertama.
Contoh Praktis
Misalkan kita punya himpunan X dengan tiga elemen:
$$ X = \{a, b, c\} $$
Kita pilih \(p = a\) sebagai titik yang akan dikecualikan.
Untuk membentuk topologi titik yang dikecualikan pada X, kita sertakan:
- Himpunan kosong Ø
- Seluruh himpunan X, yaitu X = {a, b, c}
- Semua himpunan bagian dari X yang tidak mengandung elemen "a", yaitu {b}, {c}, dan {b, c}
Maka topologi yang terbentuk adalah:
$$ T = \{\emptyset, \{a, b, c\}, \{b\}, \{c\}, \{b, c\}\} $$
Koleksi himpunan \(T\) ini memenuhi sifat-sifat dasar sebuah topologi:
- Gabungan dari sembarang himpunan dalam T tetap merupakan elemen T.
Contoh: \(\{b\} \cup \{c\} = \{b, c\}\) dan \(\{b\} \cup \emptyset = \{b\}\), keduanya berada dalam T.
- Irisan dari dua himpunan mana pun dalam T juga merupakan elemen T.
Contoh: \(\{b\} \cap \{c\} = \emptyset\) dan \(\{b, c\} \cap \{b\} = \{b\}\), keduanya termasuk dalam T.
- Himpunan kosong \(\emptyset\) dan himpunan X selalu termasuk dalam T.
Contoh sederhana ini menunjukkan bagaimana dengan hanya “menghapus” satu titik dari himpunan, kita dapat menciptakan struktur topologis yang berbeda dan membuka jalan untuk memahami konsep keterbukaan dengan cara yang lebih mendalam.
