Perbandingan antara Topologi Halus dan Kasar
Dalam teori topologi, istilah topologi halus dan topologi kasar digunakan untuk membandingkan dua topologi yang diterapkan pada himpunan yang sama, yaitu $ X $. Perbedaan keduanya terletak pada banyaknya himpunan terbuka yang dimiliki masing-masing topologi.
- Topologi halus
Topologi ini memiliki lebih banyak himpunan terbuka dibandingkan topologi lain pada himpunan yang sama. Semakin halus topologi, semakin detail struktur ruang yang dapat kita amati. - Topologi kasar
Sebaliknya, topologi kasar memiliki lebih sedikit himpunan terbuka. Karena strukturnya lebih sederhana, topologi ini sering digunakan untuk pendekatan dasar atau pembahasan awal.
Contoh sederhana
Misalkan kita punya himpunan \( X = \{a, b\} \) dan kita tetapkan dua topologi yang berbeda pada \( X \):
- Topologi pertama \( \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} \), disebut topologi trivial, karena hanya himpunan kosong dan seluruh himpunan yang terbuka.
- Topologi kedua \( \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{a, b\}\} \).
Topologi \( \tau_2 \) bersifat lebih halus daripada \( \tau_1 \) karena memiliki himpunan terbuka tambahan, yaitu \( \{a\} \), yang tidak ada pada \( \tau_1 \). Sebaliknya, \( \tau_1 \) disebut lebih kasar karena memiliki lebih sedikit himpunan terbuka.
Kontinuitas pada topologi halus dan kasar
Jika suatu fungsi kontinu terhadap topologi kasar, maka fungsi tersebut juga kontinu terhadap topologi halus. Namun, sebaliknya tidak selalu benar.
Untuk menentukan apakah suatu fungsi kontinu, kita memeriksa bahwa untuk setiap himpunan terbuka di kodomain, praimajinya juga merupakan himpunan terbuka di domain. Pada topologi halus, karena himpunan terbukanya lebih banyak, jumlah pemeriksaannya pun lebih banyak. Sebaliknya, pada topologi kasar, kondisi kontinuitas lebih mudah dipenuhi karena himpunan terbukanya lebih sedikit.
Dengan demikian, fungsi yang kontinu pada topologi kasar pasti kontinu juga pada topologi halus. Namun, fungsi yang kontinu pada topologi halus belum tentu kontinu pada topologi kasar.
Contoh kasus
Pertimbangkan kembali himpunan \( X = \{a, b\} \) dengan dua topologi berikut:
- Topologi kasar: \( \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} \)
- Topologi halus: \( \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} \)
Fungsi konstan
Definisikan fungsi \( f: X \to Y \) sebagai berikut:
$$ f(a)=1, \quad f(b)=1 $$
Fungsi ini memetakan kedua elemen ke nilai yang sama, sehingga merupakan fungsi konstan.
Fungsi \( f \) kontinu terhadap topologi halus \( \tau_2 \), karena praimaji dari setiap himpunan terbuka di \( Y \) adalah himpunan terbuka di \( X \):
- Praimaji dari \( f^{-1}(\{1\}) = \{a,b\} \), yang terbuka dalam \( \tau_2 \).
- Praimaji dari \( f^{-1}(\varnothing) = \varnothing \), yang juga terbuka dalam semua topologi.
Oleh karena itu, \( f \) kontinu terhadap topologi halus \( \tau_2 \). Karena topologi kasar \( \tau_1 \) hanya memiliki dua himpunan terbuka (\( \varnothing \) dan \( \{a,b\} \)), fungsi ini juga otomatis kontinu terhadap \( \tau_1 \).
Fungsi non-konstan
Sekarang definisikan fungsi lain \( g : X \to Y \):
$$ g(a) = 1, \quad g(b) = 2 $$
Pada topologi halus \( \tau_2 \), fungsi \( g \) bersifat kontinu karena:
- Praimaji \( g^{-1}(\varnothing) = \varnothing \) terbuka.
- Praimaji \( g^{-1}(\{1,2\}) = \{a,b\} \) terbuka.
- Praimaji \( g^{-1}(\{1\}) = \{a\} \) terbuka.
- Praimaji \( g^{-1}(\{2\}) = \{b\} \) terbuka.
Namun, jika kita menggunakan topologi kasar \( \tau_1 \), praimaji \( g^{-1}(\{1\}) = \{a\} \) tidak terbuka dalam \( \tau_1 \). Akibatnya, fungsi ini tidak kontinu terhadap topologi kasar.
Kesimpulan
Dari contoh di atas, kita dapat melihat bahwa:
- Fungsi yang kontinu pada topologi kasar akan selalu kontinu pada topologi halus.
- Tetapi fungsi yang kontinu pada topologi halus belum tentu kontinu pada topologi kasar.
Pemahaman tentang hubungan antara topologi halus dan kasar sangat penting dalam analisis kontinuitas, karena membantu kita memilih struktur topologi yang sesuai dengan sifat fungsi yang sedang dikaji.
