Topologi Trivial
Topologi trivial (atau minimal) pada sebuah himpunan X adalah topologi yang hanya berisi dua himpunan, yaitu himpunan kosong dan himpunan itu sendiri. $$ T = \{ \emptyset , X \} $$
Inilah bentuk topologi paling sederhana yang bisa didefinisikan. Tidak ada himpunan lain yang dianggap terbuka selain dua himpunan tersebut.
Dengan kata lain, topologi ini hanya memuat himpunan kosong Ø dan himpunan X, sehingga seluruh himpunan terbuka yang mungkin hanyalah himpunan tak tepat dari X.
Inti Konsepnya
Misalkan kita memiliki sebuah himpunan tak kosong X, lalu kita berikan topologi trivial T. Dalam hal ini kita membentuk struktur topologi yang paling mendasar dan minimal.
$$ (X, T) $$
Topologi trivial T hanya mencakup dua himpunan, yaitu himpunan kosong () dan X.
$$ T = \{ \emptyset , X \} $$
Meski terlihat sangat sederhana, memilih dua himpunan ini sudah cukup untuk memenuhi aksioma dasar topologi.
Sebuah himpunan T dapat disebut topologi jika memenuhi tiga syarat berikut.
- Himpunan kosong Ø dan himpunan penuh X wajib ada dalam T.
- Gabungan (union) dari himpunan-himpunan terbuka di T harus tetap menghasilkan himpunan terbuka dalam T.
- Irisan (intersection) dari dua himpunan terbuka di T juga harus menghasilkan himpunan terbuka dalam T.
Pada topologi T = {Ø, X}, semua syarat tersebut otomatis terpenuhi.
Proof. Berdasarkan definisi, himpunan kosong dan X sudah termasuk dalam T.
Himpunan X dianggap terbuka sesuai asumsi, dan himpunan kosong diakui sebagai himpunan terbuka dalam setiap sistem topologi.
Karena T tidak memiliki himpunan lain, tidak ada gabungan atau irisan himpunan terbuka yang bisa melanggar aturan.
Dengan demikian, seluruh aksioma topologi terpenuhi.
Mengapa Disebut Topologi Minimal?
Topologi trivial disebut sebagai topologi minimal karena tidak dapat disederhanakan lagi tanpa kehilangan sifat topologinya.
Sebuah topologi disebut minimal jika penghapusan satu elemen saja dari T menyebabkan T gagal memenuhi definisi topologi.
Dalam topologi apa pun, himpunan kosong Ø dan himpunan X adalah syarat mutlak. Karena T hanya berisi dua himpunan tersebut, tidak ada elemen yang bisa dihapus.
Begitu salah satu dihilangkan, struktur T langsung berhenti menjadi topologi.
Inilah sebabnya topologi trivial T = {Ø, X} merupakan topologi yang paling ringkas dan paling minimal pada X.
Note. Topologi trivial berguna sebagai contoh teoretis karena kesederhanaannya, tetapi dalam praktik hampir tidak memberikan informasi mengenai struktur sebuah himpunan. Topologi ini menempati posisi ekstrem paling sederhana dalam dunia topologi. Pada sisi ekstrem sebaliknya terdapat topologi diskrit, di mana setiap himpunan bagian dari X dianggap sebagai himpunan terbuka.
Dan seterusnya
