Topologi Diskrit
Topologi diskrit T adalah topologi terbesar yang dapat didefinisikan pada suatu himpunan X, karena mencakup seluruh himpunan bagian yang mungkin dari X.
Dalam topologi diskrit, himpunan terbuka dalam T terdiri atas semua himpunan bagian dari X. Dengan demikian, setiap himpunan bagian X otomatis merupakan himpunan terbuka.
Akibatnya, setiap elemen tunggal dalam X dianggap terbuka, sehingga setiap titik berdiri sendiri dan bersifat "terisolasi" dari titik-titik lainnya.
Dengan kata lain, tidak ada konsep kedekatan atau jarak antar elemen, sebab setiap bentuk susunan elemen selalu diperbolehkan.
Catatan. Topologi pada suatu himpunan X adalah kumpulan himpunan bagian X (disebut "himpunan terbuka") yang memenuhi tiga kriteria:
- Himpunan kosong dan himpunan X itu sendiri harus termasuk dalam T.
- Gabungan dan irisan dari himpunan-himpunan tersebut juga harus tetap berada dalam T.
Topologi ini disebut "diskrit" karena memperlakukan setiap elemen X secara terpisah, tanpa adanya gagasan kesinambungan atau tingkat kedekatan antar elemen.
Topologi diskrit adalah topologi terbesar yang mungkin, karena tidak ada topologi lain yang dapat memiliki lebih banyak himpunan terbuka. Semua himpunan bagian X sudah termasuk di dalamnya.
Catatan. Syarat-syarat ini menciptakan kerangka untuk memahami himpunan terbuka, sehingga kita dapat membahas keterhubungan, kedekatan, dan khususnya kontinuitas dalam suatu ruang topologi.
Salah satu sifat paling khas dari topologi diskrit adalah sebagai berikut:
Dalam topologi diskrit, setiap himpunan bagian ruang bersifat terbuka sekaligus tertutup.
Hal ini terjadi karena semua himpunan bagian ruang dianggap sebagai himpunan terbuka.
Akibat langsungnya, komplemen dari himpunan apa pun juga merupakan himpunan terbuka.
Dalam topologi, suatu himpunan disebut tertutup apabila komplemennya terbuka.
Karena komplemen setiap himpunan bagian adalah himpunan terbuka, maka setiap himpunan bagian otomatis bersifat tertutup.
Dengan kata lain, semua himpunan dalam topologi diskrit bersifat "clopen", yaitu sekaligus terbuka dan tertutup tanpa pengecualian.
Catatan. Sifat ini tidak hanya berlaku pada titik tunggal, melainkan pada semua himpunan bagian. Setiap titik adalah himpunan terbuka, gabungan titik-titik juga terbuka, dan karena komplemennya selalu berupa himpunan bagian lain yang juga terbuka, setiap himpunan pasti tertutup.
Contoh Sederhana
Pertimbangkan himpunan berhingga X yang terdiri atas tiga elemen.
$$ X = \{a, b, c\} $$
Himpunan pangkat X, yaitu himpunan semua himpunan bagian yang mungkin, terdiri atas:
- Himpunan kosong: \(\emptyset\)
- Himpunan satu elemen: \(\{a\}\), \(\{b\}\), \(\{c\}\)
- Himpunan dua elemen: \(\{a, b\}\), \(\{a, c\}\), \(\{b, c\}\)
- Himpunan penuh: \(\{a, b, c\}\)
Dalam topologi diskrit pada X, semua himpunan bagian X adalah himpunan terbuka.
Dengan demikian, topologi diskrit \(T\) pada \(X\) adalah:
$$ T = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\} \} $$
Dalam topologi ini, setiap himpunan bagian \(X\) terbuka berdasarkan definisi.
Catatan. Koleksi tersebut merupakan topologi karena memuat himpunan kosong dan himpunan X, serta tertutup terhadap operasi gabungan dan irisan. Karena semua himpunan bagian bersifat terbuka, konsep kedekatan dan batas tidak relevan dalam ruang ini.
Ambil himpunan $ \{ a \} $. Berdasarkan definisi topologi diskrit, himpunan ini merupakan himpunan terbuka.
Pada saat yang sama, himpunan $ \{ a \} $ juga tertutup karena komplemennya, yaitu $ X/ \{a\} = \{b,c\} $, merupakan himpunan terbuka. Ingat bahwa himpunan tertutup didefinisikan sebagai komplemen dari himpunan terbuka.
Maka dalam topologi diskrit, himpunan $ \{ a \} $ bersifat terbuka sekaligus tertutup.
Sifat ini berlaku bagi semua himpunan bagian lainnya dalam topologi tersebut.
Dan seterusnya.
