Embedding dalam Topologi

Dalam topologi, embedding adalah fungsi kontinu dan injektif \( f: X \rightarrow Y \) antara dua ruang topologi \( X \) dan \( Y \), sedemikian sehingga \( f \) menginduksi sebuah homeomorfisme antara ruang \( X \) dan citranya \( f(X) \), dengan \( f(X) \) dibekali topologi subruang yang diwariskan dari \( Y \).

Secara intuitif, embedding memungkinkan suatu ruang topologi ditempatkan di dalam ruang lain tanpa mengubah struktur topologinya. Meskipun ruang tersebut menjadi bagian dari ruang yang lebih besar, hubungan topologis antar titik tetap dipertahankan.

Sebuah embedding harus memenuhi tiga syarat utama:

1. Fungsi \( f \) bersifat kontinu.
2. Fungsi \( f \) bersifat injektif, sehingga setiap titik di \( X \) dipetakan ke titik yang berbeda di \( Y \).
3. Fungsi invers pada citra, yaitu \( f^{-1}: f(X) \rightarrow X \), juga bersifat kontinu.

Jika ketiga syarat tersebut terpenuhi, maka ruang \( X \) dan citranya \( f(X) \) memiliki struktur topologi yang sama, meskipun \( f(X) \) hanya merupakan bagian dari ruang \( Y \).

Contoh Praktis

Untuk memahami konsep ini, mari kita tinjau sebuah contoh sederhana.

Misalkan terdapat dua ruang topologi berikut.

• Ruang \( X \)
  Himpunan \( X = \{a, b, c\} \) dengan topologi \( \mathcal{T}_X = \{\emptyset, \{a\}, \{a,b\}, X\} \).
• Ruang \( Y \)
  Himpunan \( Y = \{1,2,3,4\} \) dengan topologi \( \mathcal{T}_Y = \{\emptyset, \{1\}, \{1,2\}, \{1,2,3\}, Y\} \).

Selanjutnya, definisikan fungsi berikut:

$$ f(a)=1 \\ f(b)=2 \\ f(c)=3 $$

Kita akan memeriksa apakah fungsi \( f \) merupakan embedding.

1. Memeriksa Kekontinuan Fungsi

Suatu fungsi \( f: X \rightarrow Y \) dikatakan kontinu (lihat definisi kekontinuan berdasarkan himpunan terbuka) jika praimaj (preimage) dari setiap himpunan terbuka di \( Y \) juga merupakan himpunan terbuka di \( X \).

Praimaj dari setiap himpunan terbuka dalam \( \mathcal{T}_Y \) adalah:

• \( f^{-1}(\emptyset)=\emptyset \in \mathcal{T}_X \)
• \( f^{-1}(\{1\})=\{a\} \in \mathcal{T}_X \)
• \( f^{-1}(\{1,2\})=\{a,b\} \in \mathcal{T}_X \)
• \( f^{-1}(\{1,2,3\})=X \in \mathcal{T}_X \)
• \( f^{-1}(Y)=X \in \mathcal{T}_X \)

Karena seluruh praimaj tersebut terbuka dalam \( X \), maka fungsi \( f \) bersifat kontinu.

2. Memeriksa Injektivitas

Fungsi \( f \) memetakan setiap elemen dalam \( X \) ke elemen yang berbeda dalam \( Y \):

$$ f(a)=1 \\ f(b)=2 \\ f(c)=3 $$

Tidak ada dua elemen berbeda yang memiliki citra yang sama. Oleh karena itu, \( f \) adalah fungsi injektif.

3. Memeriksa Kekontinuan Fungsi Invers

Citra dari fungsi \( f \) adalah:

$$ f(X)=\{1,2,3\}\subset Y $$

Pada himpunan ini kita menggunakan topologi subruang yang diwariskan dari \( Y \).

Sekarang perhatikan fungsi invers yang dibatasi pada citra:

$$ f^{-1}: f(X)\rightarrow X $$

Untuk menunjukkan bahwa fungsi ini kontinu, kita memeriksa praimaj dari setiap himpunan terbuka dalam \( \mathcal{T}_X \):

• \( \emptyset \mapsto \emptyset \)
• \( \{a\} \mapsto \{1\} \)
• \( \{a,b\} \mapsto \{1,2\} \)
• \( X \mapsto \{1,2,3\} \)

Semua himpunan tersebut terbuka dalam topologi subruang \( \mathcal{T}_{f(X)} \). Oleh karena itu, fungsi inversnya bersifat kontinu.

Kita dapat menyimpulkan bahwa fungsi \( f \) merupakan sebuah embedding karena memenuhi ketiga syarat yang diperlukan:

• kontinu,
• injektif,
• memiliki invers yang kontinu pada citranya.

Meskipun citra \( f(X)=\{1,2,3\} \) tidak mencakup seluruh ruang \( Y \), struktur topologi ruang \( X \) tetap dipertahankan secara sempurna di dalam citra tersebut.

Perbedaan antara Embedding dan Homeomorfisme

Embedding dan homeomorfisme sama-sama berkaitan dengan pelestarian struktur topologi, tetapi keduanya memiliki tujuan yang berbeda.

• Homeomorfisme
  Homeomorfisme adalah fungsi bijektif yang memetakan seluruh ruang \( X \) ke seluruh ruang \( Y \) sambil mempertahankan struktur topologi keduanya. Jika dua ruang terhubung melalui homeomorfisme, maka keduanya dianggap ekuivalen secara topologis.
• Embedding
  Embedding hanya mengharuskan ruang \( X \) direpresentasikan sebagai subruang dari \( Y \). Struktur topologi \( X \) tetap terjaga, tetapi citranya tidak harus mencakup seluruh ruang \( Y \).

Dengan kata lain, homeomorfisme menyatakan bahwa dua ruang pada dasarnya sama dari sudut pandang topologi, sedangkan embedding menunjukkan bahwa suatu ruang dapat ditempatkan di dalam ruang lain tanpa kehilangan sifat-sifat topologinya.

Karena itu, embedding sering digunakan untuk mempelajari bagaimana suatu ruang topologi muncul sebagai bagian dari ruang yang lebih besar, sambil tetap mempertahankan karakteristik topologinya secara utuh.

Dan seterusnya...