Gabungan Himpunan Terbuka pada Topologi Kuosien

Misalkan kita memiliki suatu koleksi himpunan terbuka $ U_i $ dalam topologi kuosien Q. Salah satu sifat pentingnya adalah bahwa praimaj dari gabungan himpunan-himpunan tersebut sama dengan gabungan dari praimaj masing-masing. Secara matematis ditulis sebagai $$ p^{-1}\!\left( \bigcup U_i \right) = \bigcup p^{-1}(U_i) $$ Karena setiap praimaj merupakan himpunan terbuka dalam topologi asal $ X $, maka gabungannya juga tetap terbuka. Dengan demikian, gabungan himpunan terbuka tetap merupakan himpunan terbuka dalam topologi kuosien.

Contoh Ilustratif

Untuk memahami konsep ini dengan lebih jelas, kita ambil contoh sederhana. Pertimbangkan himpunan bilangan real $ \mathbb{R} $, lalu definisikan topologi kuosien melalui pemetaan $ p: \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z} $. Pemetaan ini mengirim setiap bilangan real ke kelas ekuivalensinya modulo 1.

Secara intuitif, ini berarti setiap bilangan real direpresentasikan hanya oleh bagian pecahannya. Misalnya, 0.3, 1.3, 2.3, dan seterusnya semuanya dipetakan ke nilai yang sama, yaitu 0.3.

contoh topologi kuosien pada bilangan real

Akibatnya, ruang kuosien $ Q = \mathbb{R}/\mathbb{Z} $ dapat dipandang sebagai sebuah lingkaran, yaitu interval [0,1) dengan ujung-ujungnya diidentifikasi.

Sekarang, kita pilih dua himpunan terbuka dalam ruang ini:

$ U_1 = (0.1, 0.4) $
$ U_2 = (0.6, 0.8) $

Kedua himpunan tersebut adalah himpunan terbuka dalam ruang kuosien $ Q $.

Langkah berikutnya adalah melihat apa yang terjadi ketika kita mengambil gabungan dari kedua himpunan ini.

Praimaj dari $ U_1 $ adalah gabungan semua interval terbuka yang berulang secara periodik: \[ p^{-1}(U_1) = (0.1, 0.4) \cup (1.1, 1.4) \cup (2.1, 2.4) \cup \dots \]
Praimaj dari $ U_2 $ juga memiliki pola yang sama: \[ p^{-1}(U_2) = (0.6, 0.8) \cup (1.6, 1.8) \cup (2.6, 2.8) \cup \dots \]

Gabungan kedua himpunan dalam ruang kuosien adalah:

$$ U_1 \cup U_2 = (0.1, 0.4) \cup (0.6, 0.8) $$

Sementara itu, praimaj dari gabungan tersebut adalah:

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = p^{-1}(U_1) \cup p^{-1}(U_2) $$

Jika dituliskan secara eksplisit, kita memperoleh:

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = (0.1, 0.4) \cup (0.6, 0.8) \cup (1.1, 1.4) \cup (1.6, 1.8) \cup (2.1, 2.4) \cup (2.6, 2.8) \cup \dots $$

Perhatikan bahwa hasil ini adalah gabungan interval-interval terbuka di $ \mathbb{R} $. Karena gabungan interval terbuka tetap terbuka dalam $ \mathbb{R} $, maka praimaj tersebut adalah himpunan terbuka.

Inilah inti dari konsepnya. Karena praimaj dari gabungan adalah terbuka, maka gabungan himpunan terbuka dalam topologi kuosien juga tetap terbuka.

Dengan cara yang sama, sifat ini berlaku untuk gabungan berhingga maupun tak hingga.