Topologi Batas Atas

Dalam topologi batas atas, himpunan terbuka didefinisikan sebagai gabungan dari interval semi-terbuka kanan berbentuk (a, b], dengan a < b. Artinya, interval tersebut mencakup batas atasnya tetapi tidak mencakup batas bawahnya.

Dengan kata lain, dalam topologi ini setiap himpunan terbuka dibangun dari potongan-potongan kecil interval seperti itu, yang bersama-sama membentuk struktur keseluruhan ruang topologis.

Secara formal, basis untuk topologi ini ditulis sebagai:

$$ B = \{ (a,b] \subset R \ | \ a<b \} $$

Setiap elemen dalam basis ini memiliki ciri khas: batas atasnya termasuk dalam himpunan, sementara batas bawahnya tidak.

Catatan. Topologi batas atas sering dibandingkan dengan topologi batas bawah, di mana interval terbuka berbentuk [a,b) dan mencakup batas bawahnya. Perbandingan ini membantu kita memahami bagaimana perbedaan kecil dalam definisi dasar dapat mengubah secara signifikan konsep keterbukaan dalam topologi.

Melalui topologi batas atas, kita dapat melihat bagaimana perubahan arah pandang terhadap batas interval menghasilkan struktur matematika yang unik, membuka ruang untuk berbagai hasil dan sifat yang berbeda.

Contoh Sederhana

Misalkan kita mengambil himpunan bilangan real R dan menganggap interval semi-terbuka kanan sebagai himpunan terbuka.

Contohnya antara lain (1,3], (2,6], atau (-3,5], dan sebagainya.

Kumpulan semua interval semi-tertutup kanan ini membentuk basis dari topologi batas atas.

Dalam setiap interval, batas atas termasuk dalam himpunan, sedangkan batas bawah tidak. Konsep sederhana ini menjadi dasar bagi banyak analisis lebih lanjut dalam teori topologi.

Dan seterusnya.