Himpunan Rapat dalam Topologi

Dalam suatu ruang topologi X, sebuah himpunan bagian A disebut himpunan rapat jika closure-nya sama dengan seluruh ruang X. $$ Cl(A)=X $$

Secara sederhana, sebuah himpunan dikatakan rapat jika ia "mendekati" setiap bagian ruang. Artinya, setiap titik di ruang tersebut либо merupakan anggota himpunan A либо dapat didekati sedekat mungkin oleh elemen-elemen dari A.

Closure dari A mencakup semua titik yang berada di dalam A serta semua titik limitnya.

Contoh Praktis

Contoh 1

Dalam topologi standar pada $ \mathbb{R} $, himpunan bilangan rasional ($ \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $) merupakan himpunan yang rapat.

Alasannya sederhana. Di antara dua bilangan real yang berbeda selalu terdapat bilangan rasional. Karena itu, setiap bilangan real dapat didekati sedekat mungkin oleh bilangan rasional.

Akibatnya, closure dari himpunan bilangan rasional adalah seluruh ruang $ \mathbb{R} $.

$$ Cl ( \mathbb{Q} ) = \mathbb{R} $$

Dengan demikian, himpunan bilangan rasional merupakan himpunan rapat di $ \mathbb{R} $.

Catatan. Hal yang sama juga berlaku untuk himpunan bilangan irasional $ \mathbb{I} \subset \mathbb{R} $. Setiap bilangan real dapat didekati sedekat mungkin oleh bilangan irasional. Karena itu, closure dari himpunan bilangan irasional juga sama dengan seluruh ruang $ \mathbb{R} $. $$ Cl ( \mathbb{I} ) = \mathbb{R} $$

Contoh 2

Dalam topologi komplemen hingga pada $ \mathbb{R} $, himpunan $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ juga merupakan himpunan rapat.

Pada topologi ini, sebuah himpunan dikatakan terbuka jika komplemennya di dalam $ \mathbb{R} $ adalah himpunan berhingga.

Komplemen dari $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ hanyalah himpunan berhingga \{0\}. Karena itu, $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ merupakan himpunan terbuka.

Untuk menentukan closure-nya, kita harus mempertimbangkan semua titik akumulasi.

Jika kita menambahkan kembali titik $ 0 $ ke dalam $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $, kita memperoleh seluruh himpunan $ \mathbb{R} $.

Dengan demikian, satu-satunya himpunan tertutup yang dapat memuat $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ adalah seluruh $ \mathbb{R} $.

$$ Cl( \mathbb{R} \setminus \{0\} ) = \mathbb{R} $$

Ini menunjukkan bahwa $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ adalah himpunan rapat di $ \mathbb{R} $.

Catatan. Contoh ini menunjukkan sifat khas dari topologi komplemen hingga. Dalam topologi ini, setiap himpunan tak hingga автоматически bersifat rapat. Hal ini terjadi karena himpunan tertutup dalam topologi tersebut adalah himpunan berhingga. Oleh sebab itu, satu-satunya himpunan tertutup yang dapat memuat himpunan tak hingga adalah seluruh ruang $ \mathbb{R} $.

Contoh 3

Dalam topologi standar pada $ \mathbb{R} $, interval (0,1) bukan merupakan himpunan rapat.

Closure dari interval (0,1) adalah interval [0,1]. Interval ini mencakup titik ujung 0 dan 1 karena setiap lingkungan di sekitar kedua titik tersebut всегда beririsan dengan interval (0,1).

Namun closure tersebut tidak mencakup seluruh ruang $ \mathbb{R} $.

Karena itu, interval (0,1) bukan himpunan rapat dalam topologi standar pada $ \mathbb{R} $.

Catatan. Jika interval (0,1) dipandang sebagai himpunan bagian dari subruang [0,1], situasinya berubah. Dalam topologi yang diinduksi pada [0,1], interval (0,1) justru menjadi himpunan rapat. Hal ini karena closure-nya di dalam subruang tersebut sama dengan seluruh himpunan [0,1]. Contoh ini menunjukkan bahwa sifat kerapatan dapat bergantung pada ruang topologi yang sedang dipertimbangkan.

Dan seterusnya.