Contoh Topologi

Pada himpunan yang sangat kecil, seperti X dengan hanya dua elemen, kita dapat elencare e analizzare con precisione tutte le topologie possibili. Ini membantu memahami logika dasar yang menjadi fondasi topologi secara umum.

$$ X = \{ a,b \} $$

Tujuan kita adalah mencari semua topologi yang mungkin pada himpunan ini. Untuk melakukannya, kita perlu mempertimbangkan semua himpunan bagian dari X yang bisa dijadikan himpunan terbuka, lalu memeriksa mana saja yang memenuhi definisi topologi.

Definisi Topologi. Suatu topologi pada himpunan X adalah koleksi T yang memuat himpunan kosong ∅ dan X itu sendiri, tertutup terhadap gabungan sebarang banyak himpunan anggotanya, serta tertutup terhadap irisan hingga dari anggota-anggotanya.

Untuk himpunan sederhana seperti X={a,b}, himpunan bagian yang mungkin ialah:

$$ P(X) = \{ ∅, \{ a \}, \{ b \}, X \} $$

Dua di antaranya, yaitu ∅ dan X, wajib selalu ada dalam topologi apa pun. Sisanya dapat muncul atau tidak, selama aturan topologi tetap terpenuhi.

Dengan logika tersebut, semua topologi yang mungkin untuk X dapat didaftar sebagai berikut:

1. Topologi trivial, memuat hanya himpunan kosong dan seluruh himpunan: $$ T_1=\{ ∅, \{a,b \} \} $$
2. Topologi yang juga memasukkan himpunan {a}: $$ T_2=\{ ∅, \{ a \} , \{a,b \} \} $$
3. Topologi yang memasukkan {b} sebagai alternatifnya: $$ T_3=\{ ∅, \{ b \} , \{a,b \} \} $$
4. Topologi diskrit, yang memuat semua himpunan bagian X: $$ T_3=\{ ∅, \{ a \} , \{ b \} , \{a,b \} \} $$

Daftar ini lengkap. Tidak ada kombinasi lain yang memenuhi aturan topologi. Topologi trivial adalah bentuk yang paling sederhana, sedangkan topologi diskrit adalah bentuk yang paling penuh karena menganggap setiap himpunan bagian sebagai himpunan terbuka. Dari himpunan dua elemen, hanya empat topologi yang mungkin.

Contoh 2

Sekarang beralih ke himpunan dengan lebih banyak elemen:

$$ X = \{ a,b,c \} $$

Misalkan kita memiliki koleksi berikut dan ingin mengetahui apakah koleksi ini dapat disebut topologi pada X:

$$ T_3=\{ ∅, \{ a \} , \{ b \} , \{b,c \}, \{a,b,c \} \} $$

Langkah pertama adalah memastikan dua syarat dasar: keberadaan himpunan kosong ∅ dan seluruh himpunan X={1,2,3}. Keduanya ada, sehingga kita dapat melanjutkan.

Tetapi berikutnya, kita harus memeriksa penutupan terhadap gabungan. Di sinilah masalah muncul. Gabungan {a} dan {b} seharusnya menghasilkan {a,b}, tetapi himpunan tersebut tidak ada dalam T.

$$ \{ a \} \cup \{ b \} = \{a , b\} \ ∉ T $$

Satu pelanggaran ini saja sudah cukup untuk menyatakan bahwa koleksi tersebut bukan topologi. Karena syarat gabungan gagal, tidak perlu memeriksa syarat berikutnya, yaitu penutupan irisan.

Contoh ini menunjukkan bagaimana satu pengecekan sederhana dapat langsung membatalkan kemungkinan sebuah koleksi menjadi topologi. Pada himpunan yang lebih besar, daftar topologi tidak lagi sederhana seperti contoh pertama, sehingga metode pengecekan sistematis menjadi sangat penting.