Penutupan Suatu Himpunan sebagai Gabungan Himpunan dan Titik Limitnya
Dalam topologi, penutupan suatu himpunan \( A \) di dalam ruang topologi \( X \), yang dilambangkan dengan \(\text{Cl}(A)\), didefinisikan sebagai gabungan antara himpunan \( A \) dan himpunan titik limitnya \( A' \). $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Teorema ini memberikan gambaran yang jelas tentang apa yang dimaksud dengan penutupan suatu subhimpunan \( A \) dalam ruang topologi \((X, \tau)\).
Secara intuitif, penutupan suatu himpunan \( A \) mencakup semua titik yang secara topologis dapat dianggap dekat dengan \( A \). Titik-titik ini bisa saja berada di luar \( A \), tetapi tetap memiliki keterkaitan yang kuat dengannya melalui struktur topologi.
Perlu dicatat bahwa titik limit tidak harus menjadi elemen dari himpunan \( A \).
Teorema ini juga menghasilkan karakterisasi penting tentang himpunan tertutup. Suatu himpunan \( A \) dikatakan tertutup jika dan hanya jika ia memuat semua titik limitnya. $$ A \text{ tertutup } \ \Leftrightarrow \ A = A \cup A' = \text{Cl}(A) $$ Dengan kata lain, suatu himpunan tertutup jika dan hanya jika sama dengan penutupannya.
Contoh Praktis
Sebagai ilustrasi, pertimbangkan himpunan \( A = (0, 1) \) dalam ruang Euklides \( \mathbb{R} \) dengan topologi standar.
$$ A = (0,1) $$
Himpunan ini berisi semua bilangan real yang berada di antara 0 dan 1, tetapi tidak mencakup kedua titik ujungnya.
Untuk memahami penutupannya, kita terlebih dahulu menentukan titik-titik limit dari \( A \).
- Setiap titik \( x \) di dalam interval (0,1) adalah titik limit, karena setiap lingkungan terbuka di sekitar \( x \), yaitu (x-ε, x+ε), selalu mengandung titik lain dari \( A \).
- Titik 0 merupakan titik limit dari \( A \), sebab setiap lingkungan di sekitar 0, yaitu (0,0+ε), memuat titik-titik dari \( A \).
- Dengan alasan yang sama, titik 1 juga merupakan titik limit dari \( A \), karena setiap lingkungan (1-ε,1) mengandung titik-titik dari \( A \).
Dari uraian ini diperoleh himpunan titik limit:
$$ A' = [0,1] $$
Gabungan antara \( A = (0,1) \) dan titik-titik limitnya menghasilkan penutupan himpunan tersebut.
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' = [0,1] $$
Karena \( \text{Cl}(A) \) tidak sama dengan \( A \), dapat disimpulkan bahwa \( A \) bukan himpunan tertutup dalam topologi ini.
$$ A \ne \text{Cl}(A) $$
Contoh 2
Sekarang, perhatikan himpunan \( B = [0, 1] \) di ruang bilangan real \( \mathbb{R} \) dengan topologi standar.
$$ B = [0,1] $$
Himpunan \( B \) merupakan interval tertutup yang mencakup semua bilangan real \( x \) dengan \( 0 \leq x \leq 1 \).
Kita tentukan titik-titik limit dari \( B \) dengan menggunakan definisi titik limit.
Suatu titik \( x \) disebut titik limit dari \( B \) jika setiap lingkungan dari \( x \) mengandung setidaknya satu titik dari \( B \) yang berbeda dari \( x \).
- Jika \( x \in (0,1) \), maka setiap lingkungan \( U \) dari \( x \) mengandung titik \( y \in B \) dengan \( y \neq x \). Dengan demikian, semua titik di interval terbuka (0,1) adalah titik limit.
- Jika \( x = 0 \) atau \( x = 1 \), setiap lingkungan di sekitar titik tersebut tetap beririsan dengan interval \( [0,1] \). Oleh karena itu, 0 dan 1 juga merupakan titik limit dari \( B \).
Dengan demikian, himpunan titik limit dari \( B \) adalah:
$$ B' = [0, 1] \setminus \{0, 1\} = (0, 1) \cup \{0, 1\} = [0, 1] $$
Penutupan dari \( B \) diperoleh dengan menggabungkan \( B \) dan \( B' \).
$$ \text{Cl}(B) = B \cup B' = [0, 1] \cup [0, 1] = [0, 1] $$
Dalam kasus ini, himpunan \( B \) bertepatan dengan penutupannya. Oleh sebab itu, \( B \) merupakan himpunan tertutup.
$$ B = \text{Cl}(B) = [0, 1] $$
Contoh ini kembali menegaskan bahwa suatu himpunan bersifat tertutup jika dan hanya jika sama dengan penutupannya.
Pembuktian
Pada bagian ini ditunjukkan bahwa penutupan suatu himpunan \( A \) dalam ruang topologi \( X \) memang merupakan gabungan antara \( A \) dan himpunan titik limitnya \( A' \).
Sebagai pengingat, berikut definisi yang digunakan.
- Penutupan \( A \): \( \text{Cl}(A) \) adalah irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat \( A \).
- Titik limit: Suatu titik \( x \in X \) adalah titik limit dari \( A \) jika setiap lingkungan dari \( x \) mengandung setidaknya satu titik dari \( A \) yang berbeda dari \( x \).
Pembuktian dilakukan melalui tiga langkah.
1] Gabungan \( A \cup A' \) merupakan subhimpunan dari \( \text{Cl}(A) \)
Dari definisi penutupan, jelas bahwa:
$$ A \subseteq \text{Cl}(A) $$
Ambil \( x \in A' \). Karena \( x \) adalah titik limit, setiap lingkungan dari \( x \) beririsan dengan \( A \).
Andaikan \( x \notin \text{Cl}(A) \). Maka terdapat lingkungan \( U \) dari \( x \) yang tidak beririsan dengan \( \text{Cl}(A) \), sehingga juga tidak beririsan dengan \( A \).
Hal ini bertentangan dengan sifat \( x \) sebagai titik limit. Maka:
$$ x \in \text{Cl}(A) $$
Dengan demikian diperoleh:
$$ A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
Karena \( A \subseteq \text{Cl}(A) \) dan \( A' \subseteq \text{Cl}(A) \), maka:
$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
2] \( \text{Cl}(A) \) merupakan subhimpunan dari \( A \cup A' \)
Ambil sembarang titik \( x \in \text{Cl}(A) \).
Jika \( x \notin A \), maka setiap lingkungan dari \( x \) harus beririsan dengan \( A \). Artinya, \( x \) memenuhi definisi sebagai titik limit.
Dengan demikian:
$$ x \in A' $$
Sehingga berlaku:
\[ \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \]
3] Kesimpulan
Dari kedua inklusi yang telah diperoleh:
$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
$$ \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' $$
dapat disimpulkan bahwa penutupan suatu himpunan \( A \) dalam ruang topologi \( X \) tepat merupakan gabungan antara \( A \) dan himpunan titik limitnya.
\[ \text{Cl}(A) = A \cup A' \]
Dan seterusnya.
