Konvergensi Barisan pada Ruang Topologi

Dalam ruang topologi $ X $, sebuah titik $ x \in X $ disebut titik limit dari barisan $ (x_n) $ jika untuk setiap lingkungan $ U $ dari $ x $, terdapat suatu bilangan bulat positif $ N $ sehingga untuk semua $ n \geq N $, berlaku $ x_n \in U $.

Secara intuitif, ini berarti barisan $ (x_n) $ semakin mendekati titik $ x $. Mulai dari suatu indeks tertentu, semua suku barisan akan selalu berada di dalam setiap lingkungan di sekitar titik tersebut.

Secara matematis, hal ini dinyatakan sebagai:

$$ \lim_{n \to \infty} x_n = x $$

Dalam situasi ini, $ x $ disebut sebagai titik limit dari barisan $ (x_n) $.

Contoh Praktis
Nilai-Nilai Awal Barisan

Contoh Praktis

Untuk memahami konsep ini dengan lebih jelas, perhatikan contoh sederhana berikut.

Kita ambil barisan

$$ x_n = \left( \frac{1}{n} \right) $$

pada ruang topologi $ X = \mathbb{R} $ dengan topologi standar.

Kita ingin menunjukkan bahwa barisan $ \left( \frac{1}{n} \right) $ konvergen ke 0. Dengan kata lain, kita ingin membuktikan bahwa 0 adalah titik limit dari barisan tersebut.

Ambil sembarang lingkungan $ U $ dari 0.

Dalam topologi standar pada $ \mathbb{R} $, setiap lingkungan dari 0 selalu memuat suatu interval terbuka berbentuk $ (-\epsilon, \epsilon) $ untuk suatu $ \epsilon > 0 $.

Selanjutnya kita perlu menentukan suatu bilangan bulat positif $ N $ sehingga untuk setiap $ n \geq N $, berlaku

$ \frac{1}{n} \in (-\epsilon, \epsilon) $.

Diberikan $\epsilon > 0$, kita dapat memilih

$ N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil $.

Dengan pilihan ini, untuk setiap $ n \geq N $ berlaku

$$ n \geq \frac{1}{\epsilon} \implies \frac{1}{n} \leq \epsilon. $$

Akibatnya

$ \left| \frac{1}{n} \right| < \epsilon $

untuk setiap $ n \geq N $.

Jadi, untuk setiap lingkungan $ U $ dari 0 selalu terdapat suatu $ N $ sehingga untuk setiap $ n \geq N $, berlaku $ \frac{1}{n} \in U $. Hal ini membuktikan bahwa

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 $$

Dengan demikian, 0 adalah titik limit dari barisan $ \left( \frac{1}{n} \right) $.

Nilai-Nilai Awal Barisan

Tabel berikut menunjukkan sepuluh nilai pertama dari barisan $ \frac{1}{n} $.

$$ \begin{array}{|c|c|} \hline n & \frac{1}{n} \\ \hline 1 & 1 \\ 2 & 0.5 \\ 3 & 0.333 \\ 4 & 0.25 \\ 5 & 0.2 \\ 6 & 0.167 \\ 7 & 0.143 \\ 8 & 0.125 \\ 9 & 0.111 \\ 10 & 0.1 \\ \hline \end{array} $$

Nilai-nilai ini menunjukkan bahwa semakin besar $ n $, nilai $ \frac{1}{n} $ semakin kecil dan semakin mendekati nol.

Sebagai contoh, jika kita memilih $ N=5 $ dengan $ x_5 = \frac{1}{5} = 0.2 $, maka untuk setiap $ n>5 $, semua suku berikutnya berada dalam lingkungan yang sama, yaitu $ U = (0, 0.2) $.

contoh titik limit dalam ruang topologi

Hal yang sama juga berlaku jika kita memilih nilai $ N $ yang lebih besar.

Misalnya, jika kita mengambil $ N=10 $ dengan $ x_{10} = 0.1 $, maka untuk setiap $ n>10 $, barisan tersebut berada di dalam lingkungan $ U = (0, 0.1) $, dan seterusnya.

barisan 1 per n yang konvergen ke nol

Contoh ini menunjukkan secara jelas bahwa nilai-nilai barisan semakin mendekati nol.

Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa 0 adalah titik limit dari barisan tersebut.

Dan proses ini terus berlanjut untuk nilai $ n $ yang semakin besar.