Фактор-топология

Пусть $X$ является топологическим пространством, а $A$ некоторым множеством, которое не обязательно является подмножеством $X$. Предположим, что задано сюръективное отображение $p: X \rightarrow A$. Подмножество $U \subseteq A$ считается открытым тогда и только тогда, когда его прообраз $p^{-1}(U)$ открыт в пространстве $X$.

Другими словами, множество $U$ является открытым в фактор-топологии на $A$, если все точки пространства $X$, которые отображаются в $U$, образуют открытое множество в исходном пространстве.

quotient topology

Это определение позволяет построить на множестве $A$ новую топологию, используя уже известную топологию пространства $X$.

Множество $A$ называется фактор-пространством, а отображение $p$ называется фактор-отображением.

Говорят также, что на множестве $A$ задана фактор-топология, индуцированная отображением $p$.

Главная идея очень проста: открытость множества в фактор-пространстве определяется через открытость его прообраза в исходном пространстве.

Однако здесь важно помнить о двух важных фактах:

Прообраз любого открытого множества фактор-пространства всегда открыт в исходном пространстве.
Образ открытого множества исходного пространства не обязательно будет открытым в фактор-пространстве, поскольку отображение $p$ может изменять топологическую структуру пространства.

Таким образом, фактор-пространство представляет собой новое топологическое пространство, полученное из другого пространства путём отождествления некоторых его точек в соответствии с заданным отношением эквивалентности.

Проще говоря, некоторые точки исходного пространства объявляются одной и той же точкой, после чего изучаются свойства полученного пространства.

Почему фактор-топология так важна? Она позволяет исследовать сложные пространства через более простые модели. Вместо того чтобы напрямую работать с новым пространством, можно использовать информацию об исходном пространстве и свойства отображения, которое их связывает.

Интуитивное объяснение
Практический пример
Основные свойства фактор-топологии

Интуитивное объяснение

На первый взгляд понятие фактор-топологии может показаться абстрактным. На самом деле его идея довольно наглядна.

Фактор-топология позволяет создавать новые геометрические объекты путём «склеивания» отдельных частей исходной фигуры.

Представьте себе квадратный лист бумаги. Если соединить две противоположные стороны, получится цилиндр.

folding the paper onto itself

Если затем склеить между собой круглые края цилиндра, получится тор, то есть поверхность в форме бублика.

example of a torus

В этом примере квадрат последовательно превращается сначала в цилиндр, а затем в тор благодаря отождествлению некоторых его сторон.

Точно так же фактор-топология позволяет строить новые топологические пространства из более простых, объединяя определённые точки или части исходного пространства.

Этот подход широко применяется в топологии, геометрии и многих других разделах современной математики.

Практический пример

Рассмотрим топологическое пространство $X = [0,1]$ со стандартной топологией. В этом случае открытыми множествами являются открытые интервалы и любые их объединения.

В частности:

Множество $X$ и пустое множество $\emptyset$ открыты по определению.
Любой интервал $(a,b)$, где $0 \leq a < b \leq 1$, является открытым подмножеством пространства $X$.

Геометрически пространство $X$ можно представить как обычный отрезок с концами в точках $0$ и $1$.

example of a segment [0,1]

Теперь построим новое фактор-пространство, отождествив точки $0$ и $1$. Иными словами, будем считать концы отрезка одной и той же точкой.

Для этого определим отображение $p: [0,1] \rightarrow A$:

$$ p(x) = \begin{cases} p(0) & \text{если } x = 0 \text{ или } x = 1 \\ \\ x & \text{если } 0 < x < 1 \end{cases} $$

После такого отождествления полученное множество $A$ можно представить как окружность. Концы исходного отрезка оказываются соединёнными друг с другом.

quotient topology

Другими словами, мы мысленно изгибаем отрезок и соединяем точки $0$ и $1$.

В новом пространстве $A$ точка $P = \{0,1\}$ является образом сразу двух точек исходного пространства, а именно точек $0$ и $1$.

Теперь нужно определить, какие множества будут открытыми в пространстве $A$.

Согласно определению фактор-топологии, множество $U \subseteq A$ открыто в $A$ тогда и только тогда, когда его прообраз $p^{-1}(U)$ открыт в пространстве $[0,1]$.

Рассмотрим два типичных случая.

Интервал $U = (a,b)$, не содержащий точку $P$
Его прообразом является тот же интервал $(a,b)$ в пространстве $X$. Поскольку этот интервал открыт, множество $U$ также открыто в $A$.
Интервал $U = (a,b)$, содержащий точку $P = \{0,1\}$
Его прообразом является объединение множеств $[0,a) \cup (b,1]$. Это множество открыто в топологии отрезка $[0,1]$, поэтому $U$ также является открытым в пространстве $A$.

В результате из простого отрезка $[0,1]$ мы получили новое топологическое пространство $A$, которое гомеоморфно окружности.

Этот классический пример хорошо показывает, как фактор-топология позволяет создавать более сложные пространства путём отождествления точек исходного пространства и переносить топологические свойства через соответствующее отображение.

Пример 2

Рассмотрим ещё один классический пример фактор-топологии, который помогает интуитивно понять, как из одной топологической структуры можно получить другую.

Возьмём вещественную прямую $ \mathbb{R} $, которая бесконечно продолжается в обоих направлениях.

Теперь представим, что мы хотим «намотать» эту прямую на окружность. Для этого будем отождествлять каждое вещественное число с его дробной частью.

Такое отождествление задаётся отображением

$$ p(x) = x \bmod 1 $$

Идея очень проста. Для любого числа $x$ нас интересует только его дробная часть. Именно она определяет полоhttps://www.ecoage.org/ru/math/ru-intersection-of-open-sets-in-quotient-topologyжение точки на окружности.

Например, число $1.3$ имеет дробную часть 0.3, поэтому оно отображается в ту же точку окружности, что и число 0.3. Аналогично число $2.7$ отображается в ту же точку, что и число 0.7, поскольку их дробные части совпадают.
example

Поэтому всякий раз, когда к числу прибавляется целое значение, его положение на окружности остаётся неизменным.

Именно так вещественная прямая «наматывается» на окружность: точки, отличающиеся на целое число, становятся неразличимыми, а точки 0 и 1 фактически совпадают.

Посмотрим, как ведут себя некоторые открытые интервалы.

Интервал $(0,1)$ на $ \mathbb{R} $
Этот интервал отображается в окружность без точки, соответствующей нулю. Поскольку его прообраз совпадает с самим интервалом $(0,1)$, который открыт в $ \mathbb{R} $, соответствующее множество остаётся открытым и в фактор-пространстве.
Интервал $(1,2)$ на $ \mathbb{R} $
Интервал $(1,2)$ отображается в ту же самую дугу окружности. Это происходит потому, что числа 1 и 2 имеют одинаковую дробную часть, равную нулю. Следовательно, данный интервал задаёт то же открытое множество фактор-пространства, что и интервал $(0,1)$.
Интервал $(0,2)$ на $ \mathbb{R} $
Этот интервал является открытым на вещественной прямой. Однако после отображения на окружность он покрывает её целиком. Причина заключается в том, что интервал содержит точку 1 и фактически дважды проходит по одним и тем же дугам. В результате его образом становится вся окружность. В топологии всё пространство всегда является одновременно открытым и замкнутым множеством. Такие множества называют открыто-замкнутыми (clopen).

Важное наблюдение: открытое множество исходного пространства не обязательно переходит в открытое множество фактор-пространства.

С другой стороны, прообраз любого открытого множества фактор-пространства всегда остаётся открытым в исходном пространстве. Именно на этом свойстве основано определение фактор-топологии.

Обратное утверждение в общем случае неверно. Открытое множество исходного пространства может иметь образ, который не является открытым в фактор-пространстве.

Что важно запомнить?

При работе с фактор-тополоhttps://www.ecoage.org/ru/math/ru-intersection-of-open-sets-in-quotient-topologyгией нельзя автоматически переносить свойства открытости через отображение. Отождествление точек может существенно изменить структуру пространства и привести к неожиданным результатам.

Пример 3

Теперь рассмотрим похожую идею в дискретном случае.

Возьмём множество из семи последовательных целых чисел:

$$ I_7 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} $$

Такое множество называют цифровым интервалом, поскольку оно состоит из последовательных целых чисел.

Теперь отождествим первый и последний элементы, то есть числа 1 и 7. Геометрически это похоже на соединение концов обычного отрезка для получения замкнутой линии.

https://www.ecoage.org/ru/math/ru-intersection-of-open-sets-in-quotient-topology

После такого отождествления возникает новая структура, называемая цифровой окружностью $C_6$.

Она состоит из шести точек, каждая из которых смежна ровно с двумя соседними точками.

С точки зрения фактор-топологии это пример построения нового пространства путём отождествления точек исходного пространства.

Замечание: Полученная цифровая окружность напоминает обычную окружность, возникающую при склеивании концов вещественного интервала. Однако здесь пространство состоит из конечного числа точек и имеет дискретную структуру.

Цифровая окружность также является объектом цифровой топологии, поскольку её свойства определяются отношениями смежности между точками.

Поэтому к ней можно применять такие понятия, как цифровая связность, цифровая непрерывность и цифровые открытые множества.

Замечание: В цифровой топологии множество $U$ считается открытым, если вместе с каждой точкой $x \in U$ оно содержит точки, смежные с $x$, согласно выбранному отношению смежности. Например, используются 2-смежность для одномерных объектов, 4-смежность или 8-смежность на плоскости, а также 6-смежность, 18-смежность или 26-смежность в трёхмерном пространстве.

Важно понимать, что фактор-топология и цифровая топология относятся к разным разделам математики.

Цифровую окружность можно рассматривать одновременно и как результат факторизации пространства, и как объект цифровой топологии. Однако это разные математические подходы, которые не следует отождествлять.

Пример 4

Рассмотрим множество вещественных чисел $ \mathbb{R} $ со стандартной топологией и сюръективное отображение

$$ p:\mathbb{R}\rightarrow\{a,b,c\}. $$

Оно задаётся следующим образом:

$$ p(x)= \begin{cases} a, & \text{если } x<0,\\ b, & \text{если } x=0,\\ c, & \text{если } x>0. \end{cases} $$

Проще говоря, все отрицательные числа объединяются в одну точку $a$, число 0 становится точкой $b$, а все положительные числа объединяются в точку $c$.

Чтобы определить фактор-топологию на множестве $\{a,b,c\}$, необходимо выяснить, какие множества имеют открытые прообразы на вещественной прямой.

Рассмотрим прообразы отдельных точек:

$p^{-1}(a)=(-\infty,0)$, это открытое множество в $ \mathbb{R} $;
$p^{-1}(b)=\{0\}$, это множество не является открытым в $ \mathbb{R} $;
$p^{-1}(c)=(0,\infty)$, это открытое множество в $ \mathbb{R} $.

Согласно определению фактор-топологии, множество считается открытым тогда и только тогда, когда его прообраз открыт в исходном пространстве.

Отсюда сразу следует:

множество $\{a\}$ открыто, поскольку его прообраз $(-\infty,0)$ открыт;
множество $\{c\}$ открыто, поскольку его прообраз $(0,\infty)$ открыт;
множество $\{a,c\}$ также открыто, поскольку его прообраз \[ (-\infty,0)\cup(0,\infty)=\mathbb{R}\setminus\{0\} \] является открытым множеством.

Кроме того, как и в любой топологии, открытыми являются пустое множество и всё пространство.

Множество $\{a,b,c\}$
Его прообразом является вся вещественная прямая $ \mathbb{R} $, которая открыта в собственной топологии.
Пустое множество $\emptyset$
Его прообразом также является пустое множество, которое по определению считается открытым.

А вот множество $\{b\}$ открытым не является, поскольку его прообраз $\{0\}$ не открыт в стандартной топологии на вещественной прямой.

Таким образом, фактор-топология на множестве $\{a,b,c\}$ состоит из следующих открытых множеств:

\[ \emptyset,\quad \{a\},\quad \{c\},\quad \{a,c\},\quad \{a,b,c\}. \]

Множество $\{b\}$ в эту топологию не входит.

С интуитивной точки зрения точка $b$ играет особую роль. Она соответствует нулю, который разделяет отрицательную и положительную части вещественной прямой. Однако сама по себе эта точка не образует открытого множества.

Основные свойства фактор-топологии

После знакомства с определением полезно рассмотреть несколько ключевых свойств фактор-топологии. Большинство из них непосредственно вытекает из её определения через прообразы открытых множеств.

Пустое множество и всё фактор-пространство всегда открыты

Это свойство выполняется для любой топологии, и фактор-топология не является исключением.
- Прообраз пустого множества
  Прообраз множества $ \emptyset $ при отображении $p$ также равен $ \emptyset $. Поскольку пустое множество открыто в пространстве $X$, оно открыто и в фактор-топологии.
- Прообраз всего пространства
  Прообраз множества $A$ совпадает со всем пространством $X$. Так как $X$ открыто в своей топологии, множество $A$ также является открытым.
Замечание: Пустое множество и всё пространство входят в любую топологию по определению.
Объединение открытых множеств в фактор-топологии

Пусть семейство множеств $\{U_i\}_{i\in I}$ состоит из открытых множеств фактор-пространства $A$. Тогда прообраз каждого множества $U_i$ открыт в исходном пространстве $X$.

$$ p^{-1}\!\left(\bigcup_{i\in I}U_i\right) = \bigcup_{i\in I}p^{-1}(U_i). $$

Поскольку произвольное объединение открытых множеств в $X$ остаётся открытым, прообраз объединения также открыт. Следовательно, объединение множеств $U_i$ открыто в фактор-пространстве.

Замечание: Как и любая топология, фактор-топология замкнута относительно произвольных объединений открытых множеств.
Пересечение открытых множеств в фактор-топологии

Пусть множества $U_1,\ldots,U_n$ открыты в фактор-пространстве $A$. Тогда их прообразы открыты в исходном пространстве $X$.

$$ p^{-1}\!\left(\bigcap_{i=1}^{n}U_i\right) = \bigcap_{i=1}^{n}p^{-1}(U_i). $$

Поскольку конечное пересечение открытых множеств в пространстве $X$ остаётся открытым, прообраз пересечения также открыт. Следовательно, пересечение $U_1,\ldots,U_n$ открыто в фактор-пространстве.

Замечание: Это отражает одно из базовых аксиоматических свойств любой топологии, а именно замкнутость относительно конечных пересечений открытых множеств.

На практике большинство свойств фактор-топологии доказывается именно через работу с прообразами. Такой подход позволяет переносить информацию из исходного пространства в фактор-пространство и делает исследование новых топологических объектов значительно более удобным.