Сходимость последовательностей в топологическом пространстве

В топологическом пространстве $ X $ точка $ x \in X $ называется пределом последовательности $ (x_n) $, если для любой окрестности $ U $ точки $ x $ существует натуральное число $ N $, такое что для всех $ n \geq N $ выполняется условие $ x_n \in U $.

Проще говоря, последовательность сходится к точке $ x $, если начиная с некоторого момента все её члены оказываются внутри любой окрестности этой точки.

Это записывается следующим образом:

$$ \lim_{n \to \infty} x_n = x $$

В таком случае говорят, что $ x $ является пределом последовательности $ (x_n) $.

Практический пример
Таблица первых значений

Практический пример

Рассмотрим последовательность

$$ x_n = \frac{1}{n} $$

в пространстве $ X = \mathbb{R} $ со стандартной топологией.

Нужно показать, что последовательность $ \left( \frac{1}{n} \right) $ сходится к нулю:

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 $$

Иными словами, требуется доказать, что число 0 является пределом данной последовательности.

Возьмём произвольную окрестность точки 0. В стандартной топологии на $ \mathbb{R} $ любая такая окрестность содержит открытый интервал вида

$$ (-\epsilon, \epsilon), \qquad \epsilon > 0 $$

Теперь необходимо найти такое натуральное число $ N $, чтобы для всех $ n \geq N $ выполнялось условие

$$ \frac{1}{n} \in (-\epsilon, \epsilon). $$

Пусть задано произвольное число $ \epsilon > 0 $. Выберем

$$ N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil. $$

Тогда для всех $ n \geq N $ получаем:

$$ n \geq \frac{1}{\epsilon} \implies \frac{1}{n} \leq \epsilon. $$

Следовательно,

$$ \left| \frac{1}{n} \right| < \epsilon $$

для любого $ n \geq N $.

Это означает, что начиная с некоторого номера все члены последовательности попадают в любую окрестность нуля. Тем самым доказано, что

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0. $$

Следовательно, число $ 0 $ является пределом последовательности $ \left( \frac{1}{n} \right) $.

Таблица первых значений

Ниже приведены первые десять членов последовательности:

$$ \begin{array}{|c|c|} \hline n & \frac{1}{n} \\ \hline 1 & 1 \\ 2 & 0.5 \\ 3 & 0.333 \\ 4 & 0.25 \\ 5 & 0.2 \\ 6 & 0.167 \\ 7 & 0.143 \\ 8 & 0.125 \\ 9 & 0.111 \\ 10 & 0.1 \\ \hline \end{array} $$

Видно, что значения последовательности постепенно уменьшаются и становятся всё ближе к нулю.

Например, если взять $ N=5 $, то

$$ x_5 = \frac{1}{5} = 0.2 $$

и для всех $ n>5 $ последующие члены последовательности будут принадлежать окрестности

$$ U=(0 , 0.2). $$

пример предела последовательности

То же самое происходит и при любом другом выборе числа $ N $.

Например, если взять $ N=10 $, где

$$ x_{10}=0.1, $$

то для всех $ n>10 $ последовательность будет содержаться в окрестности

$$ U=(0,0.1). $$

последовательность

Таким образом, последовательность $ \left( \frac{1}{n} \right) $ действительно сходится к нулю.