Топология нижнего предела

В топологии нижнего предела открытым множеством считается любое объединение полуоткрытых интервалов вида [a, b), где a < b.

Проще говоря, интервал в этой топологии считается открытым, если он включает свою нижнюю границу, но не содержит верхнюю.

База топологии определяется так:

$$ B = \{ [a,b) ⊂ R \ | \ a \lt b \} $$

Каждый элемент базы содержит свою нижнюю границу, которая принадлежит самому множеству.

Примечание: Топология нижнего предела - это особая топология на множестве вещественных чисел (R), отличающаяся от стандартной топологии, где открытые интервалы имеют вид (a, b) и не содержат своих концов.

Эта топология часто используется в курсах общей топологии, чтобы показать, как именно выбор топологии влияет на то, какие множества считаются открытыми.

В топологии нижнего предела интервалы вида [a,b), то есть замкнутые слева и открытые справа, считаются открытыми множествами.

Пример на практике

Представим множество вещественных чисел R, где открытыми считаются интервалы, замкнутые слева и открытые справа. Например, [0,2), [1,4), [-4,2) и так далее.

Совокупность всех таких полуоткрытых интервалов образует базу топологии нижнего предела.

Такой пример наглядно показывает, как изменение определения открытых множеств может изменить саму структуру топологического пространства.