Базис топологии

Базис топологии это набор открытых множеств, с помощью которых можно описать все открытые множества топологического пространства T. Иначе говоря, имея базис, мы можем восстановить всю топологию, рассматривая объединения его элементов.

Пусть X это некоторое множество, а T семейство его подмножеств, задающее топологию. В этом случае под базисом топологии понимают семейство B открытых множеств, которое удовлетворяет двум ключевым условиям:

• Каждая точка x множества X должна входить хотя бы в одно множество из B.
• Если точка x принадлежит пересечению двух базовых множеств B₁ и B₂, то внутри этого пересечения должно существовать базовое множество B₃, которое также содержит x.

Эти требования обеспечивают корректность построения топологии с помощью базиса и позволяют работать с открытыми множествами более компактно и гибко.

Зачем нужен базис?

Базис значительно упрощает описание топологий. Вместо того чтобы перечислять все открытые множества, достаточно указать небольшое семейство, из которого остальные множества можно получить с помощью объединений.

Примечание. Условие о пересечениях гарантирует выполнение аксиом топологии. Оно обеспечивает, что пересечение открытых множеств будет открытым.

Пример

Возьмём множество X

$$ \{a, b, c \} $$

и топологию

$$ T = \{ \emptyset, \{ a \}, \{ b,c \}, \{ a,b,c \} \} $$

Базисом здесь может служить семейство

$$ B = \{ \{ a \}, \{ b,c \} \} $$

Эти два множества уже достаточно для построения всей топологии. Множество {a} само является элементом базиса, множество {b,c} тоже входит туда, а объединение этих двух множеств даёт всё пространство X.

$$ \{ a \} \in B $$

$$ \{ b,c \} \in B $$

$$ X = \{ a \} \cup \{ b,c \} $$

Примечание. Пустое множество всегда входит в любую топологию и считается открытым. Поэтому оно присутствует и в базисе. $$ \emptyset \in B $$

Другой вариант базиса

Можно выбрать и другую базу, например:

$$ B = \{ \{ a \}, \{ b \}, \{ c \} \} $$

Это базис из одноточечных множеств. Он также порождает данную топологию, так как объединяя одноточечные множества, мы получаем необходимые открытые множества, включая {b,c} и всё пространство X.

Примечание. Для одной и той же топологии может существовать несколько различных базисов. Они различаются по структуре, но дают одну и ту же систему открытых множеств.

Базис на прямой

В стандартной топологии на вещественной прямой в качестве базиса берут все открытые интервалы (a,b), где a

$$ B = \{ (a,b) \subset \mathbb{R} \mid a < b \} $$

Такой базис удобен тем, что любой точке и любой окрестности можно сопоставить подходящий открытый интервал.

Например, пересечение интервалов (0,3) и (2,4) это интервал (2,3). Он тоже является элементом базиса.

Счётный базис

Счётный базис это базис, элементы которого можно пронумеровать последовательностью \( B_1, B_2, B_3, \dots \).

Множество считается счётным, если оно конечно или если его элементы можно поставить во взаимно однозначное соответствие натуральным числам.

Для чего нужен счётный базис?

Наличие счётного базиса это важное свойство пространства. Оно играет роль в метризации (например, в теореме Урысона) и часто делает работу с топологией удобнее.

Пример

В \( \mathbb{R} \) со стандартной топологией счётный базис можно построить, взяв интервалы с рациональными концами:

$$ (a,b),\quad a,b \in \mathbb{Q},\ a < b $$

Рациональные числа можно занумеровать, поэтому и интервалы с рациональными концами тоже образуют счётное семейство.

1. (0,1)
2. (-1,1)
3. (-\tfrac{1}{2},0)
4. (0,\tfrac{1}{2})
5. (-1,\tfrac{1}{2})
6. (\tfrac{1}{2},1)

Перечисляя такие интервалы, мы получаем счётный базис для стандартной топологии на прямой.

Замечания

• Если в качестве базиса взять все одноточечные множества {x}, то такая система будет порождать любую топологию на X.

  Это универсальный способ построения базиса, который работает для любого конечного или бесконечного множества.

  Примечание. Одноточечные множества попарно не пересекаются. Это автоматически удовлетворяет условиям определения базиса.

Так открытые множества описываются через базис, который служит фундаментом для построения любой топологии.