Топологический граф

Топологический граф представляет собой топологическое пространство, построенное из конечного множества точек, называемых вершинами, и конечного множества попарно непересекающихся замкнутых интервалов в $\mathbb{R}$, называемых рёбрами. Эти интервалы присоединяются к вершинам по определённым правилам, образуя структуру графа.

Топология такого пространства определяется не длинами рёбер и не их расположением на плоскости, а тем, каким образом рёбра соединяются с вершинами. Поэтому топологический граф можно рассматривать одновременно как геометрический объект и как топологическое пространство, описывающее систему связей между вершинами.

В результате получается новое пространство, обладающее структурой графа.

Примечание. Топологический граф является примером фактор-топологии. Новое пространство возникает в результате отождествления точек исходных пространств. На практике это означает, что мы берём простые топологические объекты, например замкнутые интервалы, и «склеиваем» их с заданными вершинами. В результате образуется более сложное пространство с определённой структурой связей.

Как построить топологический граф
Практический пример

Как построить топологический граф

Построение топологического графа можно разбить на два простых этапа.

Задаём вершины. Сначала выбирается конечное множество точек, которые будут вершинами графа. Например, их можно обозначить буквами A, B, C, D, E и F.
Добавляем рёбра. Затем берётся набор интервалов (отрезков). Каждый отрезок имеет два конца, которые присоединяются к выбранным вершинам. Так возникают связи между вершинами. Эти отрезки и называются рёбрами графа.

Иными словами, мы соединяем отрезки с точками и получаем структуру, называемую графом.

Такой граф называют топологическим, потому что его свойства определяются способом соединения элементов пространства, а не их конкретной геометрической формой.

Практический пример

Рассмотрим три различных замкнутых интервала в $\mathbb{R}$:

$$ I_1 = [0, 1], \quad I_2 = [0, 1], \quad I_3 = [0, 1] $$

Каждый из них представляет собой обычный отрезок с концами в точках $0$ и $1$.

Теперь зададим множество $ G $, состоящее из трёх вершин, которые обозначим через $A$, $B$ и $C$:

$$ G = \{ A, B, C \} $$

Эти вершины будут служить точками присоединения для концов интервалов.

множество рёбер и множество вершин

Далее выполним факторизацию, отождествив концы интервалов с выбранными вершинами:

Отождествим конец $0$ интервала $I_1$ с вершиной $A$, а конец $1$ того же интервала с вершиной $B$.
Отождествим конец $0$ интервала $I_2$ с вершиной $B$, а конец $1$ с вершиной $C$.
Отождествим конец $0$ интервала $I_3$ с вершиной $A$, а конец $1$ с вершиной $C$.

После этого получится граф с тремя вершинами $A$, $B$ и $C$ и тремя рёбрами: $ (A, B) $, $ (B, C) $ и $ (A, C) $.

пример графа

Таким образом, мы построили новый топологический объект, начиная с отдельных интервалов и последовательно присоединяя их концы к вершинам.

С точки зрения топологии этот процесс можно рассматривать как склеивание интервалов с вершинами в единое пространство.

Тем же способом можно строить и гораздо более сложные топологические графы, содержащие любое конечное число вершин и рёбер.