Топология исключённой точки

Топология исключённой точки на множестве X - это особый способ задать топологическую структуру, при котором из множества X исключается одна фиксированная точка p.

Семейство множеств, образующих такую топологию, включает:

• пустое множество (Ø)
• всё множество X
• все подмножества X, не содержащие точку p

Другими словами, открытым в этой топологии считается любое подмножество X, которое либо совпадает со всем множеством X, либо пусто, либо не содержит точку p.

Такое определение действительно задаёт топологию, поскольку оно удовлетворяет трём основным аксиомам, необходимым для топологии на множестве.

Примечание. Интерес этой топологии заключается в том, что исключение одной конкретной точки порождает необычные и порой противоречивые на первый взгляд свойства. Это хороший пример того, как простое изменение может привести к неожиданным результатам в топологии.

Пример

Рассмотрим множество X из трёх элементов:

$$ X = \{a, b, c\} $$

Выберем \(p = a\) как исключаемую точку.

Чтобы построить топологию исключённой точки на X, включим в неё:

• пустое множество Ø
• всё множество X, то есть X = {a, b, c}
• все подмножества X, не содержащие элемент «a»: {b}, {c}, {b,c}

Получаем следующую топологию:

$$ T = \{\emptyset, \{a, b, c\}, \{b\}, \{c\}, \{b, c\}\} $$

Нетрудно проверить, что семейство множеств \(T\) действительно является топологией:

• Объединение любых множеств из T снова принадлежит T.

  Например, \(\{b\} \cup \{c\} = \{b, c\}\) и \(\{b\} \cup \emptyset = \{b\}\) - оба множества входят в T.

• Пересечение любых двух множеств из T также остаётся в T.

  Например, \(\{b\} \cap \{c\} = \emptyset\) и \(\{b, c\} \cap \{b\} = \{b\}\); оба множества принадлежат T.

• Пустое множество и всё множество X входят в T по определению.

Таким образом, исключив одну точку (в данном случае элемент «a»), мы создаём новую топологическую структуру, в которой привычное понятие «открытости» приобретает иной смысл. Этот пример помогает понять, как гибко может меняться структура топологического пространства при небольшом изменении его определения.