Топологии на множестве X

Рассмотрим, какие топологии могут быть заданы на простом множестве X.

$$ X = \{ a,b \} $$

Чтобы это определить, нужно рассмотреть все возможные семейства открытых подмножеств, которые удовлетворяют основным аксиомам топологии.

Определение топологии. Топология на множестве X - это семейство T подмножеств множества X, которое обязательно включает пустое множество ∅ и всё множество X, а также замкнуто относительно произвольных объединений и конечных пересечений своих элементов.

Для множества X={a,b} множество всех его подмножеств имеет вид:

$$ P(X) = \{ ∅, \{ a \}, \{ b \}, X \} $$

Здесь X - это само множество {a,b}.

Из определения следует, что в любой топологии T на X должны присутствовать пустое множество ∅ и всё множество X. Остальные подмножества могут быть включены или нет, если при этом выполняются аксиомы топологии.

Перечислим все возможные топологии, которые можно построить на X:

1. Тривиальная (минимальная) топология, содержащая только пустое множество и всё множество: $$ T_1=\{ ∅, \{a,b \} \} $$
2. Топология, включающая, помимо множеств тривиальной топологии, подмножество {a}: $$ T_2=\{ ∅, \{ a \}, \{a,b \} \} $$
3. Топология, включающая, помимо множеств тривиальной топологии, подмножество {b}: $$ T_3=\{ ∅, \{ b \}, \{a,b \} \} $$
4. Дискретная (максимальная) топология, включающая все подмножества множества X: $$ T_4=\{ ∅, \{ a \}, \{ b \}, \{a,b \} \} $$

Это все возможные топологии на множестве X.

Тривиальная топология описывает самый простой случай, когда открыты только пустое множество и всё множество. Дискретная топология, напротив, максимально подробная: каждое подмножество множества X считается открытым.

Таким образом, для множества X={a,b} существует ровно четыре различные топологии.

Пример 2. Топология на множестве {a,b,c}

Теперь рассмотрим множество X, состоящее из трёх элементов:

$$ X = \{ a,b,c \} $$

Проверим, является ли следующее семейство подмножеств топологией на X:

$$ T_3=\{ ∅, \{ a \}, \{ b \}, \{b,c \}, \{a,b,c \} \} $$

Начнём с базовой проверки: семейство действительно содержит пустое множество ∅ и всё множество X={1,2,3}. Это условие выполняется.

Теперь нужно проверить, замкнуто ли оно относительно объединений множеств.

Семейство T не замкнуто по объединению, потому что {a}∪{b} даёт множество {a,b}, которого в T нет:

$$ \{ a \} \cup \{ b \} = \{a , b\} \ ∉ T $$

Следовательно, данное семейство не удовлетворяет аксиомам топологии и не может рассматриваться как топология на множестве X.

Проверка замкнутости относительно пересечений в этом случае уже не требуется.

Таким образом, чтобы семейство подмножеств можно было считать топологией, оно должно удовлетворять всем трём аксиомам: содержать ∅ и X, быть замкнутым относительно объединений и конечных пересечений. Нарушение хотя бы одного из этих условий означает, что топология не выполнена.